【管理运筹学】运筹学“背诵手册”（一） | 线性规划问题与单纯形法
引言
同数学一样，运筹学尽管大量的是计算题，但这些算法步骤及思路，还有涉及到的知识点如果不去整理和记忆，很难在短时间内正确求解出考题。比如指派问题的匈牙利法、排队论公式、运输问题的表上作业法等等，都是需要记忆的部分。下面就把个人认为容易遗忘的点整理起来，方便日后随时查阅。
一、线性规划问题与单纯形法
线性规划模型三个特点：1. 有决策变量，一般非负；2. 存在约束条件，用线性等式或不等式来表示；3. 有目标，可以用决策变量的线性函数来表示。
凸集的数学表达：设 Ω \Omega Ω 是 n n n 维空间的点集，若任取 x 1 , x 2 ∈ Ω , 0 ≤ α ≤ 1 x_1,x_2\in \Omega,0\leq\alpha\leq1 x1,x2∈Ω,0≤α≤1 ，有 [ x 1 , x 2 ] = { x ∣ x = α x 1 + ( 1 − α ) x 2 } ⊂ Ω [x_1,x_2]=\{x|x=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2\}\subset \Omega [x1,x2]={x∣x=αx1+(1−α)x2}⊂Ω 称点集 Ω \Omega Ω 为凸集。直观上来说，图形中连接任意两点的直线全部都落在图形区域内。
凸集的定义也提示我们，两点连线上的点可以用两个端点进行组合得到，因此在我们求出线性规划问题的两个最优解后（设有无穷多解），就可以用这个组合去求其他最优解。这也提示我们，线性规划问题的最优解不一定在顶点（不在任意不同两点连线上的点称为顶点）处取得，还可能在两个顶点所在连线上取得。
可行解： 满足所有约束条件且非负的解称为可行解。
基： 线性规划问题的约束系数矩阵 A m × n \pmb{A}_{m\times n} Am×n 的秩为 m ( m < n ) m(m
基解： 基对应的决策变量称为基变量，其他决策变量称为非基变量。令非基变量为 0 ，得到的解称为基解。如果从图形上来反映，所有约束条件方程的交点即为基解。以两个未知数为例，包括各条直线之间的交点和直线与坐标轴的交点以及坐标轴自身的交点。如果从数学角度来反映，有几个基就有几个基解，根据线性代数的内容， m × n m\times n m×n 矩阵（秩为 m m m ）中最多有 C n m C_n^m Cnm 个 m m m 阶非零子式，即 C n m C_n^m Cnm 个基解。
最优解： 满足所有约束条件，且使得目标函数值达到最优的决策变量取值。
退化解： 若基解中基变量的个数小于系数矩阵的秩，则称该解属于退化解。通俗点就是解中非零分量的个数小于决策变量的个数。
事实上，解中非零分量的个数最多为系数矩阵的秩，即独立约束条件的个数。因此若一个线性规划问题有两个独立的约束条件，则 ( 1 , 3 , 2 , 0 , 0 ) T (1,3,2,0,0)^T (1,3,2,0,0)T 不可能是该问题的解。
下面是几个定理：
- 线性规划问题若存在可行域（约束条件围成的区域），其必为凸集。
- 可行解为基可行解的充要条件是可行解中正分量对应的系数列向量线性独立。
- 线性规划问题的基可行解对应于可行域上的顶点。
- 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域上达到最优。
2,3 提示我们，后面我们之所以找单位阵，就是因为单位阵对应的系数列向量肯定是独立的，因此它可以作为基可行解。而 4 提示我们，之所以要找顶点，是因为最优解一定可以在顶点上找到，这样就不用去所有可行域上找了。单纯形法每一次迭代就是从一个顶点跳到相邻的顶点。
另外需要注意，一个基可行解对应于可行域上的一个顶点，但并非一一对应，有可能出现多个基可行解对应于一个顶点的情况，比如退化解，这时尽管在反复迭代，但始终是在一个顶点上，因为可能永远找不到最优解。而后面提到的勃兰特规则可以帮助我们避免这一循环。
- 若目标函数在 k k k 个顶点处达到最优（ k ≥ 2 k\geq2 k≥2），则在这些顶点的凸组合上也达到最优。
线性规划问题标准型的四个条件：1. 目标函数为最大化；2. 决策变量取非负值；3. 约束条件均为等式； 4. 每一约束等式右端常数均为非负。化为标准型有以下几种办法：1. 对于 min \min min 型，令 z ′ = − z z'=-z z′=−z ；2. 对于 b i < 0 b_i<0 bi<0 ，约束条件两端乘 -1 ；3. 约束条件 ≤ \leq ≤ ，左端加上一个松弛变量；4. 约束条件为 ≥ \geq ≥ ，左端减去一个剩余变量；5. 决策变量 x j x_{j} xj 无约束，令 x j = x j ′ − x j ′ ′ , x j ′ , x j ′ ′ ≥ 0 x_j=x_j'-x_j'',x_j',x_j''\geq0 xj=xj′−xj′′,xj′,xj′′≥0 ；6. 决策变量 x j ≤ 0 x_j\leq0 xj≤0 时，令 x j ′ = − x j x_j'=-x_j xj′=−xj 。
线性规划解的四种情况：
- 唯一最优解；
- 无穷多最优解；
- 无可行解（无解）；
- 无界解（无最优解）。
线性规划问题规范型是指约束矩阵中含有一个单位阵。
最优解的判定定理： 若基可行解中的所有非基变量检验数 σ j = c j − z j ≤ 0 \sigma_j=c_j-z_j\leq0 σj=cj−zj≤0 ，则该基可行解为最优解。
注意有一种特殊情况，那就是当基变量中含有非零的人工变量时，即使所有检验数都不大于 0 ，仍不是最优解，为无解。
无穷多最优解的判定定理： 若基可行解中的所有非基变量检验数 σ j = c j − z j ≤ 0 \sigma_j=c_j-z_j\leq0 σj=cj−zj≤0 且存在某个非基变量检验数等于 0 ，则该线性规划问题有无穷多最优解。
把那个检验数为 0 的非基变量入基，可得到另外一个最优解，这两个解进行凸组合，可得到其他更多最优解。
无解解的判定定理： 基可行解中，存在某个非基变量对应的检验数 > 0 >0 >0 ，但其对应的约束矩阵元素均 ≤ 0 \leq 0 ≤0 ，则该线性规划问题有无界解（也可以说是无最优解）。
入基原则，选择检验数最大的那个非基变量；出基原则，选择正的最小的比值 θ = b l / a l k \theta=b_l/a_lk θ=bl/alk 入基。
选择检验数最大的非基变量换入并不能保证目标函数最快的增长，还需保证同时选择 θ \theta θ 最小变量换出。
大 M 法（又称惩罚法），可以快速形成一个单位阵。常用的情况是在出现 ≥ \geq ≥ 的约束条件时，此时添加的剩余变量系数为 -1 ，需再添加一个人工变量。当目标为求最大时，人工变量的系数应为 -M ，这样对目标函数就有很大的负面影响，会被单纯形法的寻优机制赶出基底。
两阶段法是在使用计算机求解时，避免 M 的取值造成干扰。原理和大 M 法很像，求最大问题时，人工变量的系数取 -1 。共分为两个阶段，第一阶段是原目标函数系数暂时取 0 ，只留人工变量，迭代到最优后，进入第二阶段；去除掉人工变量，恢复原来的系数，继续迭代。如果第一阶段无法迭代到最优，说明原问题无解。
退化解出现的特征就是在确定换出变量时，存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就会出现基变量等于零，出现退化解。有可能会出现反复迭代而导致无法找到最优解的情况，因此当出现有两个最小比值时，我们采取勃兰特规则，即优先选择下标小的换入以及换出，就可以避免循环。
单纯形法用矩阵描述有很好的扩展性，事实上，我们在单纯形法做的每一次迭代，都是在对系数矩阵的增广矩阵做初等行变换，最终使得基变量对应的系数列向量构成单位阵。而做初等行变换我们知道，就相当于左乘一个可逆矩阵，我们用 B − 1 \pmb{B^{-1}} B−1 表示。这里的 B \pmb{B} B 就是最初的系数矩阵，乘上了 B − 1 \pmb{B^{-1}} B−1 就变为了单位阵，而原来添加的松弛变量是单位阵，在迭代过程中（相当于乘了 B − 1 \pmb{B}^{-1} B−1），变为了其他矩阵。于是，最优单纯形表中，松弛变量对应的系数列向量构成的矩阵就是 B − 1 \pmb{B^{-1}} B−1 。
在实际做题时，最可靠的检查办法就用这个 B − 1 \pmb{B^{-1}} B−1 去乘上原来的系数矩阵，看看是不是和自己单纯形表中的数字对得上。