【学习笔记】[EGOI2023] Bikes vs Cars

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警惕出题人为了不让你看出来构造是生成树而用了$2023$这个数字

下文中宽度为$w$的边表示分配给自行车的宽度。

考虑如何判定无解。如果存在$i,j,k$使得$b_{i,j}<\min (b_{i,k},b_{k,j})$或者$c_{i,j}<\min (c_{i,k},c_{k,j})$，那么原问题一定无解。

我们考虑，对于两个点$(i,j)$，如果$b_{i,j}+c_{i,j}\ge W$，那么我们可以贪心的在$i,j$之间连一条宽度为$b_{i,j}$的边（给自行车道）以及一条宽度为$W-c_{i,j}$的边（给机动车道），这并不会影响答案；反之，如果$b_{i,j}+c_{i,j}<W$，那么我们必然不能在$i,j$之间连边。因此，考虑贪心的连上这些边，如果无法满足条件，那么原问题无解（我们已经尽可能的加入所有边了）。

考虑加上边数的限制，我们自然而然的想到分别求解这两类边对应的最大生成树，显然如果边数不为$2n-2$那么原问题肯定无解；否则我们发现这样的生成树恰好满足我们的构造。（不需要$\text{Floyd}$检验，可以结合第一步判定无解的过程想一想为什么）

复杂度$O(n^3)$。但是显然判定无解的过程可以优化到$O(\frac{n^3}{w})$。

#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=505;
int n,W,m,a[N][N],b[N][N];
int fa[N];
struct node{
    int x,y,z;
    bool operator <(const node &a)const{
        return z>a.z;
    }
}e[N*N];
vector<node>res;
int find(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>W;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            cin>>b[i][j];
            b[j][i]=b[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            cin>>a[i][j];
            a[j][i]=a[i][j];
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)a[i][i]=b[i][i]=inf;
    for(int k=0;k<n;k++){
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(a[i][j]<min(a[i][k],a[k][j])||b[i][j]<min(b[i][k],b[k][j])){
                    cout<<"NO";
                    return 0;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(a[i][j]+b[i][j]>=W){
                e[++m]={i,j,a[i][j]};
            }
        }
    }
    sort(e+1,e+1+m);
    for(int i=0;i<n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=e[i].x,v=e[i].y,w=e[i].z;
        if(find(u)!=find(v))fa[fa[u]]=fa[v],res.pb({u,v,w});
    }
    for(int i=0;i<n;i++)fa[i]=i;
    m=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(a[i][j]+b[i][j]>=W){
                e[++m]={i,j,b[i][j]};
            }
        }
    }
    sort(e+1,e+1+m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=e[i].x,v=e[i].y,w=e[i].z;
        if(find(u)!=find(v))fa[fa[u]]=fa[v],res.pb({u,v,W-w});
    }
    if(res.size()!=2*n-2){
        cout<<"No";
        return 0;
    }
    cout<<res.size()<<"\n";
    for(auto e:res){
        cout<<e.x<<" "<<e.y<<" "<<e.z<<"\n";
    }
}