克鲁斯卡尔算法

连通图中寻找最小生成树的常用算法有 2 种，分别是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。本节，我们将带您详细了解克鲁斯卡尔算法。

和普里姆算法类似，克鲁斯卡尔算法的实现过程也采用了贪心的策略：对于具有 n 个顶点的图，将图中的所有路径（边）按照权值大小进行升序排序，从权值最小的路径开始挑选，只要此路径不会和已选择的其它路径构成环路，就选定其作为最小生成树的一部分，直至选够 n-1 条路径。 

对于具有 n 个顶点的图，选择 n-1 条路径就可以将所有顶点连接起来。在此基础上，保证所选的每条路径的权值都最小，就可以找到一棵最小生成树。

 以图 1 所示的连通图为例，克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树的过程为：
1) 将所有路径（边）按照权值大小进行升序排序：

2) 从最小的路径开始，只要该路径不会和其它已选路径产生环路，就选择它作为组成最小生成树的一部分。显然 (B,D) 符合要求，选择它组成最小生成树：

3) (D,T) 不会和已选路径 (B,D) 构成环路，可以组成最小生成树：

 4) (A,C) 不会和 (B,D)、(D,T) 构成环路，可以组成最小生成树：

5) (C,D) 不会和 (A,C)、(B,D)、(D,T) 构成环路，可以组成最小生成树：

 6) (C,B) 会和已选路径 (C,D)、(B,D) 构成环路（如图 6 所示），因此不会被选择：

7) (B,T) 会和已选路径 (B,D)、(D,T) 构成环路，也不被选择；

8) (A,B) 会和已选路径 (A,C)、(C,D)、(D,B) 构成环路，也不被选择；

9) (S,A) 不会和已选路径 (A,C)、(C,D)、(D,B)、(D,T) 构成环路，可以组成最小生成树：

 

克鲁斯卡尔算法的具体实现

克鲁斯卡尔算法的实现，难点在于如何判断所选路径是否会造成环路，这里给您介绍一种简单的解决方案：初始状态下，为图中的每个顶点配备一个互不相同的标记值，算法执行过程中，如果新路径两个顶点的标记值不同，则不会构成环路，该路径被选择的同时，要将两个顶点的标记改为和其它已选路径中的顶点标记相同；反之，如果该路径两个顶点的标记值相同，则会构成环路。

举个例子，图 5 中，已选路径为 (A,C)、(B,D)、(C,D)、(D,T)，此时顶点 A、C、B、D、T 的标记值相同，顶点 S 的标记值和它们不同。图 6 中，判定 (B,C) 路径是否可以组成最小生成树时，由于顶点 B 和 C 的标记值相同，因此该路径会和其它已选路径构成环路（如图 6 所示），不能组成最小生成树。

如下为实现克鲁斯卡尔算法的 C 语言程序：

#include 
#include 
#define N 9   // 图中边的数量
#define P 6   // 图中顶点的数量
//构建表示边的结构体
struct edge {
    //一条边有 2 个顶点
    int initial;
    int end;
    //边的权值
    int weight;
};
//qsort排序函数中使用，使edges结构体中的边按照权值大小升序排序
int cmp(const void *a, const void*b) {
    return  ((struct edge*)a)->weight - ((struct edge*)b)->weight;
}
//克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树，edges 存储用户输入的图的各个边，minTree 用于记录组成最小生成树的各个边
void kruskal_MinTree(struct edge edges[], struct edge minTree[]) {
    int i,initial, end;
    //每个顶点配置一个标记值
    int assists[P];
    int num = 0;
    //初始状态下，每个顶点的标记都不相同
    for (i = 0; i < P; i++) {
        assists[i] = i;
    }
    //根据权值，对所有边进行升序排序
    qsort(edges, N, sizeof(edges[0]), cmp);
    //遍历所有的边
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        //找到当前边的两个顶点在 assists 数组中的位置下标
        initial = edges[i].initial - 1;
        end = edges[i].end - 1;
        //如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路
        if (assists[initial] != assists[end]) {
            //记录该边，作为最小生成树的组成部分
            minTree[num] = edges[i];
            //计数+1
            num++;
            int elem = assists[end];
            //将新加入生成树的顶点标记全部改为一样的
            for (int k = 0; k < P; k++) {
                if (assists[k] == elem) {
                    assists[k] = assists[initial];
                }
            }
            //如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环
            if (num == P - 1) {
                break;
            }
        }
    }
}
void display(struct edge minTree[]) {
    int cost = 0;
    printf("最小生成树为:\n");
    for (int i = 0; i < P - 1; i++) {
        printf("%d-%d  权值：%d\n", minTree[i].initial, minTree[i].end, minTree[i].weight);
        cost += minTree[i].weight;
    }
    printf("总权值为：%d", cost);
}
int main() {
    int i;
    struct edge edges[N], minTree[P - 1];
    for (i = 0; i < N; i++) {
        scanf("%d %d %d", &edges[i].initial, &edges[i].end, &edges[i].weight);
    }
    kruskal_MinTree(edges,minTree);
    display(minTree);
    return 0;
}