最短路算法——Dijkstra

Dijkstra

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在大多数最短路径问题中，Dijkstra 算法是最常用、效率最高的。它是一种“单源”最短路径算法，一次计算能得到从一个起点 s 到其他所有点的最短距离长度、最短路径的途径点。

一、Dijkstra的算法思想

Dijkstra 的模型例如多米诺骨牌，你可以想象下面的场景：

在图中所有的边上，排满多米诺骨牌，相当于把骨牌看成图的边。一条边上的多米诺骨牌数量，和边的权值（例如长度或费用）成正比。规定所有骨牌倒下的速度都是一样的。如果在一个结点上推倒骨牌，会导致这个结点上的所有骨牌都往后面倒下去。

        当我们在起点 s 推倒骨牌，可以观察到，从 s 开始，它连接的边上的骨牌都逐渐倒下，并到达所有能达到的结点。在某个结点 t ，可能先后从不同的线路倒骨牌过来；先倒过来的骨牌，其经过的路径，肯定就是从 s 到达 t 的最短路；后倒过来的骨牌，对确定结点 t 的最短路没有贡献，不用管它。从整体看，这是一个起点 s 扩散到整个图的过程。

而在这个过程中，观察所有结点的最短路径是这样得到的：

1. 在 s 的所有直连邻居中，最近的邻居 u，骨牌首先到达。u 是第一个确定最短路径的结点。从 u 直连到 s 的路径肯定是最短的，因为如果 u 绕道别的结点到 s，必然更远。
2. 把后面骨牌的倒下分成 2 部分，一部分是从 s 继续倒下到 s 的其它的直连邻居，另一部分从 u 出发倒下到 u 的直连邻居。那么下一个到达的结点 v，必然是 s 或者 u 的一个直连邻居。v 是第二个确定最短路径的结点。
3. 继续以上步骤，在每一次迭代过程中，都能确定一个结点的最短路径。

我们用下面的表来总结 Dijkstra 算法的基本过程：

步骤	做法	具体操作	结果
1	从起点s出发，用BFS扩展它的邻居结点。	把这些邻居点放到一个集合A中，并记录这些点到s的距离。
2	选择距离s最近的那个邻居v，继续用BFS扩展v的邻居	（1）在A中找到距离s最小的点v，把v的邻居点，放到A中； （2）如果v的邻居经过v中转，到s的距离更短，则更新这些邻居到s的距离； （3）从集合A中移走v，后面不再处理v。	（1）得到了从s到v的最短路； （2）v的邻居更新了到s的距离。
3	重复步骤2，直到所有点都扩展到并计算完毕		集合A为空。计算出了所有点到s的最短距离

        Dijkstra算法应用了贪心法的思想，即“抄近路走，肯定能找到最短路径”。算法可以简单概况为：Dijkstra = BFS + 贪心。实际上，“Dijkstra + 优先队列 = BFS + 优先队列（队列中的数据是从起点到当前点的距离）” 

        我们来分析一下Dijkstra 的复杂度：设图的点有 n 个，边有 m 条。编码的时候，集合 A 一般用优先队列来模拟。优先队列可以用堆或其他高效的数据结构实现，往优先队列中插入一个数、取出最小值的操作都是 O(logn) 的。一共往队列中插入 m 次（每条边都要进集合 A 一次），取出 n 次（每次从集合 A 中取出距离 s 最短的一个点，取出时要更新这个点的所有邻居到 s 的距离，设一个点平均有 k 个邻居），那么总复杂度是 O(m×logn+n×k×logn) ≈ O(m×logn)，一般有 m 大于 n。不过要注意，在稠密图情况下 m 是 O(n^2) ，k 是 O(n)的。在计算单源最短路时，Dijkstra 是效率最高的算法。

       Dijkstra 存图使用的数据结构：题目若是稀疏图，往往 n 很大而 m 小，必须使用邻接表、链式前向星来存图；若是稠密图则 n 较小，就用简单的邻接矩阵，用邻接表也并不能减少存储空间。

        Dijkstra 的高效稳定： 从集合 AA 中得到一个点的最短路后，继续 BFS 时只需要扩展和更新这个点的邻居，范围很小，算法是高效的；而每次从集合A中都能得到一个点的最短路，算法是稳定的。 

        但Dijkstra的边的权值不能为负数。因为 Dijkstra 基于BFS，计算过程是从起点 s 逐步往外扩散的过程，每扩散一次就用贪心得到到一个点的最短路。扩散要求路径越来越长，如果遇到一个负权边，会导致路径变短，使扩散失效。见下图，设当前得到 s→u 的最短路，路径长度为 8，此时 s→u 的路径计算已经结束了。继续扩展 u 的邻居，若 u 到邻居 v 的边权是 -15，而 v 到 s 的距离为 20，那么 u 存在另一条途径 v 到 s 的路径，距离为 20 + (-15) = 5，这推翻了前面已经得到的长度 8 的最短路，破坏了 BFS 的扩散过程。

二、Dijkstra的执行过程

        编程的主要内容是维护两个集合：已确定最短路径的结点集合 A 、这些结点向外扩散的邻居结点集合 B。程序逻辑是：

1. 把起点 s 放到 A 中，把 s 所有的邻居放到 B 中。此时，邻居到 s 的距离就是直连距离。
2. 从 B 中找出距离起点 s 最短的结点 u，放到 A 中。
3. 把 u 所有的新邻居放到 B 中。显然，u 的每一条边都连接了一个邻居，每个新邻居都要加进去。其中 u 的一个新邻居 v，它到 s 的距离 dis(s,v) 等于 dis(s, u) + dis(u, v)。
4. 重复步骤 2、3，直到 B 为空时，结束。

计算结束后，就可以得到从起点 s 到其它所有点的最短距离啦。 

举个栗子：如图，起点是 1，现在我们要求 1 到其它所有结点的最短路径。

步骤如下：

1. 1 到自己的距离最短，把 1 放到集合 A 里：A={1}。把 1 的邻居放到集合 B里：B={(2-5), (3-2)}。其中 (2-5) 表示结点 2 到起点的距离是 5 。
2. 从 B 中找到离集合 A 最近的结点，是结点 3。在 A 中加上 3，现在 A={1, 3}，也就是说得到了从 1 到 3 的最短距离；从 B 中拿走 (3-2)，现在 B={(2-5)}。
3. 对结点 3 的每条边，扩展它的新邻居，放到 B 中。3 的新邻居是 2 和 4，那么 B={(2-5), (2-4), (4,7)}。其中 (2-4) 是指新邻居 2 通过 3 到起点 1，距离是 4。由于 (2-4) 比 (2-5)更好，丢弃 (2-5)，B={(2-4), (4-7)}。
4. 重复步骤 2、3。从 B 中找到离起点最近的结点，是结点 2。在 A 中加上 2，并从 B 中拿走 (2-4)；扩展 2 的邻居放到 B 中。现在 A={1, 3, 2}，B={(4-7), (4-5)}。由于 (4-5) 比 (4-7)更好，丢弃 (4-7)，B={(4-5)}。
5. 从 B 中找到离起点最近的结点，是结点 4。在 A 中加上 4，并从 B 中拿走(4-5)。已经没有新邻居可以扩展。现在 A={1, 3, 2, 4}，B 为空，结束。

我们在看看这个过程的复杂度：

        我们设图的边共有 m 个，需要往集合 B 中扩展 m 次。在每次扩展后，需要找集合 B 中距离起点最小的结点。集合 B 最多可能有 n 个结点。把问题抽象为：每次往集合 B 放一个数据；然后在 B 中的 n 个数中找最小值......

        这个最小值要怎么找呢？

如果往 B 中放数据是乱放，找最小值也是用类似冒泡的简单方法，复杂度是 n，那么总复杂度是 O(nm)，和 Bellman-Ford 一样。不过上述方法可以改进，得到更好的复杂度，改进方法是：

1. 每次往 B 中放新数据时，按从小到大的顺序放，用二分法的思路，复杂度是 O(logn)，保证最小的数总在最前面；
2. 找最小值，直接取 B 的第一个数，复杂度是 O(1)。

        这样 Dijkstra 算法总的复杂度就是 O(mlogn)，是最高效的最短路算法。而我们在编程时，一般不用自己写上面的程序，直接用 STL 的优先队列就可完成数据的插入和提取。 

三、Dijkstra经典题目练习

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 点击 -> Dijkstra经典题目分析及参考代码

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王国

题目描述

小明是王国的王子，今天是他登基之日。在即将成为国王之前，老国王给他出了道题，他想要考验小明是否有能力管理国家。

题目的内容如下：

王国一共有 N 个建筑和 M 条单向道路，每条道路都连接着两个建筑，每个建筑都有自己编号，分别为 1∼N 。（其中皇宫的编号为 1）

国王想让小明回答从皇宫到每个建筑的最短路径是多少，但紧张的小明此时已经无法思考，请你编写程序帮助小明回答国王的考核。

输入描述

输入第一行包含三个正整数 N,M。

第 2 到 M + 1 行每行包含三个正整数 u,v,w，表示 u→v 之间存在一条距离为 w 的路。

1 ≤ N ≤ 3×10^5，1 ≤ m ≤ 10^6，1 ≤ ui​,vi​ ≤ N，0 ≤ wi​ ≤ 10^9。

输出描述

输出仅一行，共 N 个数，分别表示从皇宫到编号为 1∼N 建筑的最短距离，两两之间用空格隔开。（如果无法到达则输出 -1）

样例输入

3 3 
1 2 1
1 3 5
2 3 2

样例输出

0 1 3

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