【数据结构】二叉树经典例题---＜你真的掌握二叉树了吗?＞(第二弹)

本次选题都为选择题。涉及到二叉树总结点和叶子结点的计算、二叉树的基本性质、根据二叉树的前序/后序和中序遍历画出二叉树、哈夫曼树等等…希望对你有帮助哦~

1.若一颗二叉树具有10个度为2的结点，5个度为1的结点，则度为0的结点个数为()
A.9 B.11 C.15 D.不确定

分析：本题为求解二叉树的度为0的结点个数，也就是求叶子结点。 在做此类题时，我们一般设两个未知数，即总结点n，和叶结点$n_0$。 计算方法即，从两个角度看二叉树，从而列出等式。
二叉树的总结点树等于各不同性质结点之和即$n=n_0+n_1+n_2$,从而，$n=n_0+5+10$。 二叉树的终结点数等于
结点的度*该性质结点的个数+1，(这个加的1即为这个树的根节点)即$n=10\ast 2+5\ast 1+1=26$,从而可以解得$n_0=11$.
故此题选B。

2.一颗完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数为()
A.250 B.500 C.502 D.以上均不对

分析：本题涉及到了满二叉树的总结点数和层结点数的基本知识。

对于一颗满二叉树而言，若有k层，那么这颗满二叉树总结点数等于$2^k-1$,
它在第k层的结点总数为$（2^k-1+1）/2=2^{k-1}$。

那么具有k层的完全二叉树呢？它可以看作是k-1层满二叉树+最后一层叶结点。
对于本题，完全二叉树有1001个结点，我们推断：具有10层的满二叉树共有1023个结点，具有9层的满二叉树具有511个结点，所有该完全二叉树共有10层。
前9层共有结点数511，那么最后一层结点数为1001-511=490。但是这不是总的叶结点数。
我们还需要计算第9层的叶结点数。第九层的总结点数：（511+1）/2=256，第九层的叶结点数：256-490/2=11，故总的叶结点数为：490+11=501.
故本题选D。

3.具有10个叶子结点的完全二叉树中有()个度为2的结点。
A.8 B.9 C.10.D11

分析：根据二叉树的性质，对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为$n_0$，度为2的结点数为$n_2$，则$n_0＝n_2+1$
对于这个性质呢，我是根据二叉树的两种结点的计算方法联立，消去$n_1，n$，从而得到$n_0$和$n_2$的关系式。

故本题选B。

4.设给定权值结点总数有n个，那么哈夫曼树的结点总数为()。
A.不确定 B.2n C.2n+1 D.2n-1

分析：
这个题需要理解哈夫曼树的构造，哈夫曼树即是将森林中的树不断地合二为一，最终形成最优二叉树。我是根据基本的规律得出结论，给定权值结点的总数为2，那么哈夫曼树结点为3；给定权值结点的总数为3，那么哈夫曼树的结点为5…那么给定权值结点的总数为n，则哈夫曼树的结点总数为2n-1。
故本题选D。

5.用一组权值{3,6,8,10,11}构造一颗哈夫曼树，它的带权路径长度为()。
A.92 B.35 C.38 D.85

分析：本题的考察内容为哈夫曼树的构造以及基本的概念。
哈夫曼树构造的算法思想：
已知一组叶子结点的权值为$w_1,w_2,w_3,...,w_n$则构造哈夫曼树的构成如下
①首先把n个叶子结点看作n棵树(仅有一个结点的二叉树),n棵树构成一颗森林。
②在森林中把权值最小和次小的两棵树合并成一棵树，该树结点的权值是两棵树根结点的权值之和，这时森林中就会减少一棵树。
③重复第②步直到森林中只有一颗二叉树为止。
对于本题，设权值{3,6,8,10,11}对应的结点分别是a、b、c、d、e。
首先，这5棵树构成森林：

其次，选权值最小的a树和b合并成一棵树：

再次，选权值最小的也就是新构成的这个权值为9的树和c树构成合并成一颗新树：

然后，我们选择d树和e树合并成一棵树：

最后，我们将两棵树合并成一棵树：

我们现在已经构造好这一棵哈夫曼树，题目让求它的带权路径长度：
明确带权路径：
结点的带权路径长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
树的带权路径长度:树中所有叶子结点的带权路径长度之和。记作：
$WPL={\sum }_{k=1}^n{w}_k{l}_k$
其中，$w_k$是权值，$l_k$是结点到根的路径长度,Weighted Path Length。
即： 3×3+3×6+2×8+2×10+2×11=85。
故本题选D。

6.下列有关二叉树的说法中，正确的是()
A.二叉树的度为2
B.一颗二叉树的度可以小于2
C.二叉树中至少有一个结点的度为2
D.二叉树中任何一个结点的度都为2

分析：二叉树中的任何结点的度都小于等于2，可以为0，1，2。
故此题选B

7.二叉树的第i层上最多含有结点数为()
A.$2^i$ B.$2^{i-1}$-1 C.$2^{i-1}$ D.$2^i$-1

分析：二叉树的基本性质，第i层上最多含有$2^{i-1}$个结点。
故本题选C。

8.一颗具有n个结点的完全二叉树的深度为()
A.$[{\log }_{2}n]+1$ B.${\log }_{2}n+1$ C.[${\log }_{2}n$] D.${\log }_{2}n-1$

分析：二叉树的基本性质，一颗具有n个结点的完全二叉树的深度为$[{\log }_{2}n]+1$
故本题选A。

9.在一棵深度为k的满二叉树中，结点总数为()
A.$2^{k-1}$ B.$2^k$ C.$2^k-1$ D.[$\log 2^k$]+1

分析：二叉树的基本性质，在一棵深度为k的满二叉树中，结点总数为$2^k-1$
故此题选C。

10.一颗二叉树的先序遍历序列为ABCDEFG，它的中序遍历序列可能是（） A.CABDEFG B.ABCDEFG C.DACEFBG D.ADCEFG

分析：这个题，可以从很多方面进行排除。
首先，我们可以很确定的是这棵树的根节点为A。
我比较喜欢采用中序遍历的特点，将这棵树可能的形状进行想象，从而排除。
中序遍历的特点就是，将一颗树压扁之后，即压制同一水平线，就是中序遍历的结果。

例如这颗二叉树，我将其压扁，之后的排序就是，dgbeafhc。
根据中序遍历的特点，我们逐个排除选项。
对于A选项，CABDEFG，则这颗二叉树部分一定是
C为A的左子树。右边我们可以不先进行判断，如果是这样的话，那么它的前序遍历一定是AC…所以排除A选项。
对于B选项，ABCDEFG，这棵树的部分一定是：

即这棵树只有右子树，没有左子树。那么对应它的先序遍历AB…，首先基本的看不出错误。
对于C选项，DACEFBG，它的部分一定是，

那么它对应的前序遍历一定是 DA…，所以排除C选项。
对于D选项，ADCEFG那么它对应的二叉树的部分一定是：

那么它对应的前序遍历一定是 AD…不符，所以排除D选项。
故此题选B。

11.已知某二叉树的后序遍历序列为DABEC，中序遍历序列为DEBAC，它的先序遍历序列是()。
A.ACBED B.DECAB C.DEABC D.CEDBA

分析：此类题目是经典根据中序遍历和先序/后序遍历得出后序/先序遍历的题。此类题需要我们根据已知的信息发出这颗二叉树，从而得出它的先序/后序遍历。
做这类题都是根据先序、中序、后序遍历的特点分析：先序顺序即：根->左子树->右子树，中序遍历为：左子树->根->右子树，后序遍历为:左子树->右子树->根。
对于本题，根据后序遍历，得出根节点C。


根据我们画出来的二叉树，从而得出它的先序遍历是 CEDBA。
故本题选择D。

12.二叉树的先序遍历序列为EFHIGJK，中序遍历为HFIEJKG，该二叉树根的右子树的根是（）
A.E B.F C.G D.H

分析：同上题一样，我们先画出此二叉树，从而得出结论。

我们画出此二叉树。从而可以知道该二叉树的右子树的根为G。
故此题选C。

13.某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是()的二叉树。
A.空或只有一个结点 B.任一结点无左子树 C.高度等于其结点数 D.任一结点无右子树

分析：先序序列：根->左子树->右子树
反过来：右子树->左子树->根
后序序列：左子树->右子树->根
因此树只有根结点，或者根结点只有左子树或右子树，依此类推，其子树有同样的性质，任意结点只能有一个孩子，才能满足先序序列和后序序列正好相反。树形应该为一个长链。
所以选B。

14.在有n个结点的二叉树中的二叉链表表示中，空指针数（）。
A.不定 B.n+1 C.n Dn-1

分析：二叉链表即如下图所示。
在n个结点中，有叶子结点，其两个指针域都是空指针。有有一个孩子的结点，其有一个指针域不为空，有一个指针域为空。有有两个孩子的结点，其两个指针域都不为空。那么空指针数等于叶子结点数×2＋有一个孩子的结点数。
设所求空指针数为m，则$m＝2n_0＋n_1$。
我仍然根据两个基本的方程进行联立，从而得到：
故本题选B。

15.若某二叉树有20个叶子结点，有20个结点仅仅有一个孩子，则该二叉树的总结点数是(）。
A.40 B.55 C.59 D.61

分析：本题是求二叉树的总结点树。此类题目，我们仍然从两个角度去列方程。> 首先，先设总结点树为n，设有两个孩子的结点树为$n_2$：> 则$n=n_0+n_1+n_2=20+20+n_2$> n=$20\ast 1+n_2\ast 2+1$> 联立解得n=59。
故本题选C。

16.假设一颗二叉树中，双分支结点数为15，单分支结点数为30个，则叶子结点数为()个。
A.40 B.55 C.59 D.61

分析：由题可以转化，有两个孩子的结点数为15，有一个孩子的结点数为30。
我们同上个题目一样，列方程解出。
设总结点数为n，叶子结点数为$n_0$.
则有$n=n_0+n_1+n_2=n_0+30+15$
$n=15\ast 2+30\ast 1+1=61$
从而解得，$n_0$=16。
故本题选B。

17.按照二叉树的定义，具有三个结点的二叉树有()种。
A.3 B.4 C.5 D.6

分析：二叉树是有序树，因而具有三个节点的二叉树有以下五种：

故本题选C。

18.根据先序序列ABDC和中序序列DBAC确定对应的二叉树，该二叉树()。
A.是完全二叉树 B.不是完全二叉树 C.是满二叉树 D. 不是满二叉树

分析：我们根据先序遍历和中序遍历画出此二叉树即可。


由树的形态可知，该树为完全二叉树。
故本题选A。

19.某二叉树的中序遍历为ABCDEFG，后序遍历为BDCAFGE，则其左子树中结点数目为()
A.3 B.2 C.4 D.5

分析：题目只要求 求左子树中的结点数目即可。所以我们可以直接进行分析，不需要具体画出此二叉树。 根据后序遍历，我们可以得之，这棵树的根节点为E，根据根节点E，从中序遍历结果中即可看出，左子树的所有结点为ABCD，右子树的所有结点为FG。
故本题选择C。

20.将一颗有100个结点的完全二叉树从根这一层开始，每一层上从左到右一次对结点进行编号，根节点的编号为1，则编号为49的结点的左孩子的编号为()
A.98 B.99 C.50 D.48

分析：$2^5<49<2^6$,故编号为49的结点在第5层上面。
并且可以得之，编号为49的结点为第5层的第49-32+1=18个结点。
第6层的结点从64开始，63+17*2=97，则编号为49的结点的左孩子的编号为98。
故本题选A。

21.树最适合用来表示()
A.有序数据元素
B.无序数据元素
C.元素之间具有分支层次关系的数据
D.元素之间无关联的数据

分析：树型数据结构是一种重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。故树适合用于用来表示元素之间具有分支层次关系的数据。
故本题选C。

22.下面说法中正确的是()。
A.度为2的树是二叉树。
B.度为2的有序树是二叉树。
C.子树有严格左右之分的树是二叉树。
D.子树有严格之分，且度不超过2的树是二叉树。

分析：二叉树的度可以为1或0.比如：
一个只有根结点的树的度为0，左边这个二叉树的度为1。 故子树有严格之分，且度不超过2的树为二叉树。
本题选D。