Kyber算法学习日记-----相关代数概念

Kyber算法相关代数概念

1. 整数环Z

即全体整数

对于环，需要满足一下9个条件（1）加法满足结合律；（2）加法满足交换律；（3）有一个数0，是对任意整数a，满足a+0=a；(4) 对任意整数a，存在整数b，使a+b=0； (5）乘法满足结合律；(6）有一个数1，是对任意整数a，满足a*1=a; （7）加法与乘法满足分配律；(8）乘法满足交换律；（9）无零因子：如果a、b≠0 ，则ab≠0。

整数环即以全体整数形成的数环。

1. 整数环模 q 的商环 Zq

（1）首先需要介绍概念“理想”：

设I是R的一个子集，满足：1）(I,+)是(R,+)一个子群；2）对于某个确定的a∈I，对于任意r∈R,均有ar∈I。（如整数域R，偶数域I）

（2）概念“交换环”：

一个交换环是乘法运算满足交换律的环，因为上述的“理想”有左理想和右理想的区分，但对于交换环来讲是一样的，有兴趣的可以了解一下左理想和右理想。

（3）概念“商环”

商环中涉及到的都是交换环。

I是R的一个理想，则R关于理想I的全体加法左陪集

R/I={a+I|a∈R}

构成环，称为R关于理想I的商环。

1. 不可简约多项式φ(x)

即不可约多项式，无法分解成两个多项式的乘积。

1. 多项式环

Rq=Zq/φ(x) 表示模多项式φ(x)的整系数多项式环