【洛谷】P5960 【模板】差分约束算法

题目地址:
https://www.luogu.com.cn/problem/P5960

题目描述:
给出一组包含 m m m个不等式,有 n n n个未知数的形如: { x c 1 − x c 1 ′ ≤ y 1 x c 2 − x c 2 ′ ≤ y 2 ⋯ x c m − x c m ′ ≤ y m \begin{cases} x_{c_1}-x_{c'_1}\leq y_1 \\x_{c_2}-x_{c'_2} \leq y_2 \\ \cdots\\ x_{c_m} - x_{c'_m}\leq y_m\end{cases} xc1xc1y1xc2xc2y2xcmxcmym的不等式组,求任意一组满足这个不等式组的解。

输入格式:
第一行为两个正整数 n , m n,m n,m,代表未知数的数量和不等式的数量。
接下来 m m m行,每行包含三个整数 c , c ′ , y c,c',y c,c,y,代表一个不等式 x c − x c ′ ≤ y x_c-x_{c'}\leq y xcxcy

输出格式:
一行, n n n个数,表示 x 1 , x 2 ⋯ x n x_1 , x_2 \cdots x_n x1,x2xn的一组可行解,如果有多组解,请输出任意一组,无解请输出NO

数据范围:
对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ n , m ≤ 5 × 1 0 3 1\leq n,m \leq 5\times 10^3 1n,m5×103 − 1 0 4 ≤ y ≤ 1 0 4 -10^4\leq y\leq 10^4 104y104 1 ≤ c , c ′ ≤ n 1\leq c,c'\leq n 1c,cn c ≠ c ′ c \neq c' c=c

可以把差分约束问题转化为求有向图的单源最短路问题。考虑 n n n个点 1 ∼ n 1\sim n 1n,想象有一个超级源点 0 0 0,设 x i x_i xi 0 0 0 i i i的最短路长度。对于所有形如 x c i − x c i ′ ≤ l i , 1 ≤ i ≤ m x_{c_i}-x_{c'_i}\le l_i,1\le i\le m xcixcili,1im的方程,我们可以在建图的时候将 c i ′ c'_i ci c i c_i ci连一条长为 l i l_i li的有向边,并且从 0 0 0向每一个 1 ∼ n 1\sim n 1n的点连一条长 0 0 0的有向边,那么对于这个图,如果不存在负环的话,可以求出以 0 0 0为源点的单源最短路长度 d d d,即 d [ i ] d[i] d[i] 0 0 0 i i i的最短路长度,那么这个 d d d数组就是原来的差分约束的一组解;如果存在负环的话,说明无解。由于图中有负权边,所以要用SPFA来求最短路。代码如下:

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 5010, M = N;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
// cnt[i]是超级源点0到i的最短路边数,不包含0出发的那条边
int dist[N], cnt[N];
bool vis[N];

void add(int a, int b, int c) {
  e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

// 返回是否能求出单源最短路
bool spfa() {
  queue<int> q;
  // 不显式建立0到每个点的边,而是直接将每个点入队
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    q.push(i);
    vis[i] = true;
  }

  while (q.size()) {
    int t = q.front(); q.pop();
    vis[t] = false;
    for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
      int v = e[i];
      if (dist[v] > dist[t] + w[i]) {
        dist[v] = dist[t] + w[i];
        cnt[v] = cnt[t] + 1;
        // 如果某个点的最短路边数大于n - 1,说明存在负环,返回false
        if (cnt[v] > n - 1) return false;
        if (!vis[v]) {
          q.push(v);
          vis[v] = true;
        }
      }
    }
  }

  return true;
}

int main() {
  memset(h, -1, sizeof h);

  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int a, b, c;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    add(b, a, c);
  }

  bool found = spfa();
  if (!found) puts("NO");
  else for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", dist[i]);
}

时间复杂度 O ( n m ) O(nm) O(nm),空间 O ( n ) O(n) O(n)

你可能感兴趣的:(AC,搜索与图论,算法,图论)