【洛谷】P5960 【模板】差分约束算法

题目地址：
https://www.luogu.com.cn/problem/P5960

题目描述：
给出一组包含$m$个不等式，有$n$个未知数的形如：$$\{\begin{array}{l}{x}_{c_1}-x_{c_1^{\prime }}\le y_1\\ x_{c_2}-x_{c_2^{\prime }}\le y_2\\ \cdots \\ x_{c_m}-x_{c_m^{\prime }}\le y_m\end{array}$$的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

输入格式：
第一行为两个正整数$n,m$，代表未知数的数量和不等式的数量。
接下来$m$行，每行包含三个整数$c,c^{\prime },y$，代表一个不等式$x_c-x_{c^{\prime }}\le y$。

输出格式：
一行，$n$个数，表示$x_1,x_2\cdots x_n$的一组可行解，如果有多组解，请输出任意一组，无解请输出NO。

数据范围：
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 5\times 10^3$，$-10^4\le y\le 10^4$，$1\le c,c^{\prime }\le n$，$c\ne c^{\prime }$。

可以把差分约束问题转化为求有向图的单源最短路问题。考虑$n$个点$1\sim n$，想象有一个超级源点$0$，设$x_i$是$0$到$i$的最短路长度。对于所有形如$x_{c_i}-x_{c_i^{\prime }}\le l_i,1\le i\le m$的方程，我们可以在建图的时候将$c_i^{\prime }$向$c_i$连一条长为$l_i$的有向边，并且从$0$向每一个$1\sim n$的点连一条长$0$的有向边，那么对于这个图，如果不存在负环的话，可以求出以$0$为源点的单源最短路长度$d$，即$d[i]$是$0$到$i$的最短路长度，那么这个$d$数组就是原来的差分约束的一组解；如果存在负环的话，说明无解。由于图中有负权边，所以要用SPFA来求最短路。代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 5010, M = N;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
// cnt[i]是超级源点0到i的最短路边数，不包含0出发的那条边
int dist[N], cnt[N];
bool vis[N];

void add(int a, int b, int c) {
  e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

// 返回是否能求出单源最短路
bool spfa() {
  queue<int> q;
  // 不显式建立0到每个点的边，而是直接将每个点入队
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    q.push(i);
    vis[i] = true;
  }

  while (q.size()) {
    int t = q.front(); q.pop();
    vis[t] = false;
    for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
      int v = e[i];
      if (dist[v] > dist[t] + w[i]) {
        dist[v] = dist[t] + w[i];
        cnt[v] = cnt[t] + 1;
        // 如果某个点的最短路边数大于n - 1，说明存在负环，返回false
        if (cnt[v] > n - 1) return false;
        if (!vis[v]) {
          q.push(v);
          vis[v] = true;
        }
      }
    }
  }

  return true;
}

int main() {
  memset(h, -1, sizeof h);

  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int a, b, c;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    add(b, a, c);
  }

  bool found = spfa();
  if (!found) puts("NO");
  else for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", dist[i]);
}

时间复杂度$O(nm)$，空间$O(n)$。