2023NOIP A层联测32-meirin

给出两个长度为 $n$ 的序列 $a,b$

$q$ 次操作，每次格式如下

给出 l r k 将序列 $b$ 区间 $[l,r]$ 的值每个加上 $k$。

每次操作结束后，查询：

$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(\sum _{i=l}^r{a}_i)\times (\sum _{i=l}^r{b}_i)\mathrm{mod}1000000007$$

$|a_i,b_i,k|\le 10^9,1\le l\le r\le n,1\le n\le 5\times 10^5,q\le 10^6$

---

先推式子。记 $S,T$ 分别是 $a,b$ 的前缀和。
$\begin{array}{rl}\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(\sum _{i=l}^r{a}_i)\times (\sum _{i=l}^r{b}_i)& =\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(S_r-S_{l-1})(T_r-T_{l-1})\\ & =\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(S_r{T}_r+S_{l-1}{T}_{l-1}-S_r{T}_{l-1}-S_{l-1}{T}_r)\\ & =n\sum _{i=1}^n{S}_i{T}_i-\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(S_r{T}_{l-1}+S_{l-1}{T}_r)\\ & =(n+1)\sum _{i=1}^n{S}_i{T}_i-\left(\sum _{i=1}^n{S}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{T}_j\right)\end{array}$

更具体的推导请参见 P5686 [CSP-S2019 江西] 和积和 。

然后这可以 $O(n)$ 求。下面考虑修改 $b$ 怎么维护。记 $A$ 表示 $S$ 的后缀和，$B$ 为 $A$ 的后缀和。

把答案式子写出来：

$(n+1)\left(\sum _{i=1}^{l-1}{S}_i{T}_i+\sum _{i=l}^r{S}_i(T_i+(i-l+1)k)+\sum _{i=r+1}^n{S}_i(T_i+(r-l+1)k)\right)-\left(\sum _{i=1}^n{S}_i\right)\left(\sum _{i=1}^{l-1}{T}_i+\sum _{i=l}^r(T_i+(i-l+1)k)+\sum _{i=r+1}^n(T_i+(r-l+1)k)\right)$

化简得到 $(n+1)\left(\sum _{i=1}^n{S}_i{T}_i+k\left(B_l-B_{r+1}\right)\right)-\left(\sum _{i=1}^n{S}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{T}_i+\frac{k}{2}(2n-r-l+2)(r-l+1)\right)$

发现都是很好维护的，这道题就解决了。

时间复杂度 $O(n+q)$

#include
using namespace std;
#define ll long long
constexpr ll mod=1e9+7;
const int N=5e5+10;
int n,q;
ll Sum1,Sum2,ans,S[N],T[N],A[N],B[N];
int main()
{
    freopen("meirin.in","r",stdin);
    freopen("meirin.out","w",stdout);
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>q;
    for(int i=1,x;i<=n;i++) cin>>x,S[i]=(S[i-1]+x+mod)%mod,(Sum1+=S[i])%=mod;
    for(int i=1,x;i<=n;i++) cin>>x,T[i]=(T[i-1]+x+mod)%mod,(Sum2+=T[i])%=mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+S[i]*T[i])%mod;
    for(int i=n;i>=1;i--) A[i]=(A[i+1]+S[i])%mod;
    for(int i=n;i>=1;i--) B[i]=(B[i+1]+A[i])%mod;
    ans=(ans*(n+1)-Sum1*Sum2%mod+mod)%mod;
    for(int i=1,l,r,k;i<=q;i++){
        cin>>l>>r>>k;
        ans=(ans+(B[l]-B[r+1]+mod)*k%mod*(n+1)-1ll*(r-l+1)*(2*n-r-l+2)/2%mod*k%mod*Sum1%mod+mod)%mod;
        cout<<ans<<"\n";
    }
}