暴力递归转动态规划（十七）

本篇是暴力递归转动态规划章节的最后一题。
著名的N皇后问题，只能用暴力递归来解决，没有动态规划的优化方案。

题目
N皇后问题是指在 N * N的棋盘上要摆N个皇后，
要求任何两个皇后不同行、不同列， 也不在同一条斜线上。
给定一个整数n，返回n皇后的摆法有多少种。n=1，返回1。
n=2或3，2皇后和3皇后问题无论怎么摆都不行，返回0。n=8，返回92。

暴力递归
首先确定base case：一共有N个皇后，所以是从0 ~ N -1的位置，如果下标index从0 走到了 N，则说明所有皇后放置的位置不冲突，此时有1种有效方法，return 1。

因为要求不能同行，所以我们在递归过程中，规定好每行只能放置一个皇后，并且用一个int[] record来记录每个皇后放置的位置。
因为是N * N，所以index每次 +1就代表当前所在行数 + 1，那么当前行的皇后应该摆在哪一列呢？
需要从0开始遍历所有列，看和之前 0 ~ index - 1位置摆放的皇后是否有列冲突或者在同一条斜线上。
所以record[index] = x ，代表着 index 行的皇后摆放在了 x 列上。
所以record只用一维数组来表示即可，因为 index 就是代表行数。

代码
其中k循环要遍历之前所有行，看之前所有摆放的皇后有没有列冲突和斜线冲突。如果其中一行不满足，就return false。不能只单单看一行。因为之前摆放所有行的所有皇后都已经满足了条件。

public static int NQueens(int N) {
        if (N < 1) {
            return -1;
        }
        //从0位置开始，一共N个皇后，record用来 0 ~ index - 1位置皇后摆放的位置
        return process(0, N, new int[N]);
    }
	//index：当前来到index行，一共0 ~ N -1行
	//N ： N个皇后 N * N的矩阵
	//record[]：用来记录 0 ~ index - 1所有皇后摆放的位置。 record[x] = y 代表着x行的皇后摆放在了y列
    public static int process(int index, int N, int[] record) {
    	//如果index走到了最后，代表之前摆放的所有皇后不冲突，1种有效方法 return 1。
        if (index == N) {
            return 1;
        } else {
            int res = 0;
            //当前来到了index行， 摆放在哪一列呢？ j列
            for (int j = 0; j < N; j++) {
            	//用record index 和 j列去校验，看是否有列冲突、斜线冲突。
                if (isValid(record, index, j)) {
                    //如果和之前行放置的皇后没冲突，则当前位置 index行 j列放置一个皇后
                    record[index] = j;
                    //继续向下去遍历，看下一行
                    res = process(index + 1, N, record);
                }
            }
            return res;
        }
    }

    public static boolean isValid(int[] record, int index, int j) {
    	//当前是来到了index行，所有只看index行之前即可。
    	//如果k循环都走完，则return true，代表可以放在当前j列。
        for (int k = 0; k < index; k++) {
        	// j == record[k] ： 看当前j列和之前的record[k]行
        	// Math.abs(record[k] - j) == Math.abs(index - k) ： 固定求是否在同一条斜线的公式。（包含左右斜线）
            if (j == record[k] || Math.abs(record[k] - j) == Math.abs(index - k)){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }