蓝桥杯青少年创意编程大赛题解：带分数

题目描述

$100$ 可以表示为带分数的形式：$100=3+\frac{69258}{714}$
还可以表示为：$100=82+\frac{3546}{197}$

注意特征：带分数中，数字 $1\sim 9$ 分别出现且只出现一次（不包含 $0$）。

类似这样的带分数，$100$ 有 $11$ 种表示法。

输入格式

一个正整数。

输出格式

输出输入数字用数码 $1\sim 9$ 不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

数据范围

$1\le N<10^6$

输入样例1

100

输出样例1

11

输入样例2

105

输出样例2

6

算法思想1（DFS）

根据题目描述，带分数满足$n=a+\frac{b}{c}$。要计算$a,b,c$的情况，可以将等式左右两边同时$\times c$得到$nc=ac+b$。因此可以先枚举$a$和$c$，再计算$b$的值，最后判断$a,b,c$是否符合条件即可。
由于在带分数中数字 $1\sim 9$ 分别出现且只出现一次，可以使用暴力搜索的方式先确定$a$，对于$a$的每种符合条件的取值，继续搜索$c$的情况。对于一组$a$和$c$的取值，计算出$b$，再判断$b$是否符合条件即可。

代码实现1

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 20;
int n, ans;
int st[N], backup[N];

bool check(int a, int c)
{
    //将带分数等式两边同时乘c，计算b
    long long b = (long long) n * c - a * c;
    //不能为0
    if(!a || !b || !c) return 0;
    //将st备份到backup，对b进行检查
    memcpy(backup, st, sizeof st);
    
    while(b)
    {
        int o = b % 10;
        b /= 10;
        //如果b的个位为0，或者已经使用过
        if(!o || backup[o]) return 0;
        backup[o] = 1;
    }
    
    //判断是否存在没有用到的数字
    for(int i = 1; i <= 9; i ++)
        if(!backup[i]) return 0;
    
    return 1;
}

//对a的每个取值，搜索c的值
void dfs_c(int t, int a, int c)
{
    //如果9个数字都已搜索过，结束搜索
    if(t > 9) return;
    
    //对一组a、c判断是否满足要求
    if(check(a, c)) ans ++;
    
    for(int i = 1; i <= 9; i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            st[i] = 1;
            //将当前数字作为c的个位，继续向下搜索
            dfs_c(t + 1, a, c * 10 + i);
            //恢复现场
            st[i] = 0;
        }
    }
}

//搜索a的取值，t表示已经确定的数字个数
void dfs_a(int t, int a)
{
    //a作为带分数的一项，结果不能超过n
    if(a >= n) return;
    
    //对于a的每个合法取值（不能为0），继续搜索c的情况
    if(a) dfs_c(t, a, 0);
    
    for(int i = 1; i <= 9; i ++)
    {
        //每个数字只能出现一次
        if(!st[i])
        {
            st[i] = 1;
            //将当前数字作为a的个位，继续向下搜索
            dfs_a(t + 1, a * 10 + i);
            //恢复现场
            st[i] = 0;
        }    
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    dfs_a(0, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

算法思想2（枚举）

再提供一种时间复杂度更优的枚举思想。根据题目描述，在带分数中，数字 $1\sim 9$ 分别出现且只出现一次（不包含 $0$）。可以推断在带分数中，分母不会超过$4$位数，且最大值为9876。

若分母超过4位数，为了使分数的结果为整数，则分子的位数至少为5位，不满足题意。

因此可以枚举分母，以及每个分母的整数倍，在其中选择符合条件的解即可。其中分母的整数倍不会超过$6$位数字，且最大值为987654

在枚举的过程中，注意要对不符合条件的解及时剪枝，以降低时间复杂度。

代码实现2

#include 
using namespace std;
//检查是否包含0，以及每个数的出现次数是否合法
bool check(int x)
{
    int cnt[10] = {0};
    while(x)
    {
        int o = x % 10;
        if(cnt[o] || o == 0) return false;
        cnt[o] ++;
        x /= 10;
    }
    return true;
}

//检查1~9是不是只出现1次
bool check(int a, int b, int c)
{
    int res = 0;
    int cnt[10] = {0};
    while(a)
    {
        int o = a % 10;
        if(cnt[o] || o == 0) return false;
        cnt[o] ++;
        res ++;
        a /= 10;
    }
    while(b)
    {
        int o = b % 10;
        if(cnt[o] || o == 0) return false;
        cnt[o] ++;
        res ++;
        b /= 10;
    }
    while(c)
    {
        int o = c % 10;
        if(cnt[o] || o == 0) return false;
        cnt[o] ++;
        res ++;
        c /= 10;
    }
    
    return res == 9;
}

int main()
{
    int x;
    cin >> x;
    
    int res = 0;
    //枚举分母
    for(int i = 1; i <= 9876; i ++)
    {
        if(!check(i)) continue;
        //枚举分母的倍数，注意倍数要小于x
        for(int j = 2; j < x && i * j <= 987654; j ++)
        {
            if(!check(i * j)) continue;
            
            int a = x - j;
            
            if(check(a, i, i * j))
            {
                res ++;
                //cout << a << " + " << i * j  << " / " << i << endl;
            }
        }
    }    
    cout << res << endl;
	return 0;
}