聪明的质检员——二分、前缀和

题目描述

输入格式

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

输入输出样例

输入 #1

5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3

输出 #1

10

说明

思路

题意：

• 给定n个矿石，从1~n对它们进行编号，每个矿石都有一个重量w和价值v, 并给定一个标准值s
• 有一个参数W
• 给定m个区间，找到每个区间中重量大于参数W的矿石，y = 区间中符合条件的矿石数量*符合条件的矿石价值之和，将每个区间的y值相加得到Y
• 找到一个参数W，可以使|Y - s|最小，也就是Y最接近s

1、二分

• 一共有n个矿石，每个矿石都有一个重量w
• 参数W小于矿石中重量最小值，那么每一个区间中所有的矿石都符合条件
• 参数W大于矿石中重量最大值，那么每一个区间中的矿石都不符合条件，Y的结果就是0

1. Y > s：减小参数W的值
2. Y < s：增大参数W的值
3. Y = s：|Y-s| = 0

2、前缀和

• 每次利用二分找到一个参数W的时候，定义两个数组

1. tw[i]：统计矿石重量大于参数W的数量之和
2. tv[i]：统计矿石重量大于参数W的价值之和
3. 由于区间数量较多，使用前缀和对数组进行预处理

代码实现

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair PII;

const int N = 2e5 + 10;

int n, m;		// n个矿石，m个区间
LL s;	// 标准值
int wi[N], vi[N];	// 每个矿石的重量和价值
PII lr[N];	// 存储每个区间的左右端点

LL getSum(int w)
{
	LL tw[N], tv[N];		// 矿石数量和价值的前缀和数组
	memset(tw, 0, sizeof tw);
	memset(tv, 0, sizeof tv);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if(wi[i] >= w) tw[i] = 1 + tw[i-1], tv[i] = vi[i] + tv[i-1];	// 当前矿石符合条件
		else tw[i] = tw[i-1], tv[i] = tv[i-1];	// 当前矿石不符合条件，不用加上当前矿石数量和价值
	}
	LL sum = 0;	// sum表示每个区间的y值相加，就是Y
	for(int i = 1;i <= m; i++)	// 遍历每一个区间
	{
		PII p = lr[i];
		sum += (tw[p.second] - tw[p.first-1]) * (tv[p.second] - tv[p.first-1]);	// 利用前缀和的性质， 数量 * 价值之和
	}
	
	return sum;
}


int main()
{
	cin >> n >> m >> s;
	int minw = 0x3f3f3f3f, maxw = -1;	// minw表示重量最大值，minw表示重量最小值
	for(int i = 1;i <= n; i++)
	{
		cin >> wi[i] >> vi[i];
		if(wi[i] < minw) minw = wi[i];
		if(wi[i] > maxw) maxw = wi[i];
	}
	for(int i = 1;i <= m; i++) 
	{
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		lr[i] = {l, r};
	}
	int l = minw - 1, r = maxw + 2;		// 二分的左右范围，因为W = maxw + 1的结果Y = 0，也是一种情况
	LL sum = 0, res = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;	// sum表示在当前参数W下，Y的值， res维护的是|Y-s|的最小值
	while(l <= r)
	{
		int mid = (l + r >> 1);
		sum = getSum(mid);		// 求Y的函数
		if(sum > s) l = mid + 1;	// Y > s
		else r = mid - 1;	// Y <= s
		sum = llabs(sum - s);	// 求|Y-s|的值
		if(sum < res) res = sum;	// 小于res的话，进行更新
	}
	
	cout << res << endl;
	
	return 0;
}