马尔可夫不等式和切比雪夫不等式

Markov’s Inequality

中文叫马尔科夫不等式或马尔可夫不等式。

若随机变量$X$只取非负值，则$\forall a>0$，有
$$\mathbb{P}(X\ge a)\le \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$$

证明：
取$Y_a=a\mathbb{I}(X\ge a)$，则必有$Y_a\le X$，进而有$\mathbb{E}(Y_a)\le \mathbb{E}(X)$。

而
E ( Y a ) = a