切比雪夫------切比雪夫不等式

形式

随机变量X存在期望E(X)与方差D(X)，于是对于任意的$\epsilon >0$有：

$P\{|X-E(X)|\ge \epsilon \}\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$

证明

证明的过程借助于马尔可夫不等式：$P\{X\ge \epsilon \}\le \frac{E(X)}{\epsilon }$

将随机变量变换一下有：

$P\{|X-E(X)|\ge \epsilon \}\le \frac{E(|X-E(X)|)}{\epsilon }$

对应的在进行一下乘方运算后有：

$P\{|X-E(X){|}^2\ge {\epsilon }^2\}\le \frac{E(|X-E(X){|}^2)}{{\epsilon }^2}$

$E(|X-E(X){|}^2)$即为对应的方差D(X)，证毕。

描述

其描述的内容为，左边的概率描述的是在均值附近事件的概率，而右边则是一个用方差估计的概率上界，可以看出在均值附近处事件会更密集。而随着距离$\epsilon$的增加，发生的概率也会减小。

切比雪夫不等式可以由马尔可夫不等式转化，可以看出其并没有要求随机变量X是非负的，即没有限定分布的形式，范围更加广泛，但是由于马尔可夫不等式本身就是一个宽泛的估计，因此，切比雪夫不等式也是一个宽泛界定。

切比雪夫不等式可以看作马尔可夫不等式更一般的扩展。