切比雪夫不等式的证明

详细见：http://makercradle.com/2017/%E5%88%87%E6%AF%94%E9%9B%AA%E5%A4%AB%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AF%81%E6%98%8E/

已知：X是一个连续的随机变量，

E(X)=μ,D(X)=δ2

实数

ε>0

求证：

P(∥X−μ∥≥ε)≤δ2ε2

证明：

 因为：

δ2=V(X)

=∫+∞−∞(t−μ)2fX(t)dt

≥∫μ−ε−∞(t−μ)2fX(t)dt+∫+∞μ−ε(t−μ)2fX(t)dt

≥∫μ−ε−∞ε2fX(t)dt+∫+∞μ−εε2fX(t)dt

 由于：

t≤μ−ε⇒ε≤∥t−μ∥⇒ε2≤(t−μ)2

那么有

=ε2∫μ−ε−∞fX(t)dt+∫+∞μ−εfX(t)dt

=ε2P(X≤μ−εorX≥μ+ε)

=ε2P(∥X−μ∥≥ε)

因此有：

δ2≥ε2P(∥X−μ∥≥ε)

证明成立！