切比雪夫不等式的证明

详细见:http://makercradle.com/2017/%E5%88%87%E6%AF%94%E9%9B%AA%E5%A4%AB%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AF%81%E6%98%8E/

已知:X是一个连续的随机变量,

E(X)=μ,D(X)=δ2
实数
ε>0

求证:

P(Xμε)δ2ε2

证明:

 因为:

δ2=V(X)

=+(tμ)2fX(t)dt

με(tμ)2fX(t)dt++με(tμ)2fX(t)dt

μεε2fX(t)dt++μεε2fX(t)dt

 由于:

tμεεtμε2(tμ)2

那么有

=ε2μεfX(t)dt++μεfX(t)dt

=ε2P(XμεorXμ+ε)

=ε2P(Xμε)

因此有:

δ2ε2P(Xμε)

证明成立!

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