概论_第5章_切比雪夫不等式

一 定理： 切比雪夫不等式

设随机变量 X的期望E(X) 及方差D(X)存在, 则对任意小正数 >0, 有

P{|X-E(X)| } ， 或者

P{|X-E(X)| < } 1-

其中 念伊普西龙

可见，要使用切比雪夫不等式， 先要算出E(X), D(X), 再根据已知条件算出, 然后才能套用公式。

例题

设电站供电网有 1万盏灯， 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7， 假设所有电灯开或关是彼此独立的， 试用切比雪夫不等工估计夜晚同时开着的灯数在6800 与7200之间的概率。

解 设X表示在夜晚同时开着的电灯数量， 它服从二项分布 X~B(10000, 0.7), 于是有

E(X) = 10000 * 0.7 =7000

D(X) = npq = 10000*0.7*0.3=2100

注意的来源 = 7200-7000 = 200 ，或 =7000 - 6800 = 200，

就是说将E(X) - 题目给定的范围值。

P{6800 < X < 7200} = P{|X-7000|<200} 1- 0.95.

题2

设随机变量X的方差为2.5， 试利用切比雪夫不等式估计概率 P{|X-E(X)| 7.5}

解 由题意得 = 7.5，

题3

在每次试验中， 事件A发生的概率为0.5， 利用切比雪夫不等式的估计， 在1000次独立试验中， 事件A发生的次数在 400 至 600之间的概率。

解 事件A符合二项分布，A~B(1000, 0.5), E(X) = 500, D(X)= = 600 - 500 = 100,

所有P{|X-E(X)| < 100} 1-

就是说， 事件A发生的次数在 400至600 之间的概率为0.975