通信原理板块——模拟信号的抽样定理

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1、模拟信号的抽样
模拟信号通常是在时间上连续的信号
抽样：在一系列离散点上，对模拟信号抽取样值，可以看作是周期性单位冲激脉冲和模拟信号相乘
抽样结果：获得一系列周期性的冲激脉冲，其面积和模拟信号的取值成正比
抽样定理：对一个带宽有限的连续模拟信号进行抽样时，若抽样速率足够大，则抽样值能完全代表原模拟信号，并且能够由这些抽样值准确恢复出原模拟信号波形
均匀抽样定理：设一个连续模拟信号m(t)中的最高频率小于fH,则以间隔时间为TS≤1/(2fH)的周期性冲激脉冲对它抽样时，m(t)将被这些抽样值所完全确定，由于抽样时间间隔相等，称为均匀抽样定理
模拟信号的抽样定理，包括低通模拟信号的抽样定理和带通模拟信号的抽样定理
2、低通模拟信号的抽样定理
(1)低通抽样定理的证明
图a—m(t)—一个最高频率小于fH的模拟信号
图b—M(f)—m(t)信号的频谱
图c—δT(t)—周期性单位冲击脉冲信号，重复周期为Ts,重复频率为fs=1/Ts
图d—△Ω(f)—δT(t)信号的频谱
图e—ms(t)—ms(t)=m(t)·δT(t),抽样信号，一系列间隔为Ts的强度不等的冲激脉冲，强度等于相应时刻上信号的抽样值
图f—Ms(f)—ms(t)信号的频谱，Ms(f)=M(f)*△Ω(f)
图g—输出信号为无穷多个冲激响应之和，即原信号

(2)奈奎斯特抽样速率
抽样速率fs应不小于fH的2倍，最低抽样速率2fH称为奈奎斯特抽样速率
具体推导过程

M(f-nfs)是信号M(f)在频谱轴上平移了nfs的结果，抽样信号的频谱Ms(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱M(f)相叠加而成的
当频率间隔fs≥2fH时，则Ms(f)中包含的每个原信号频谱M(f)之间互不重叠，可以用一个低通滤波器分离出信号m(t)的频谱M(f)，从抽样信号中恢复出原信号
3、带通模拟信号的抽样定理
(1)带通抽样定理
带通模拟信号的频带限制在fL和fH之间，频谱最低频率大于fL,最高频率小于fH，信号带宽B=fH-fL,此带通模拟信号所需最小抽样频率fs为
fs=2B(1+k/n)
B为信号带宽fH-fL
n为商(fH/B)的整数部分，n=1,2…
k为商(fH/B)的小数部分，0≤k＜1

(2)带通抽样定理的频域分析
①信号最高频率fH等于信号带宽B的整数倍，即fH=nB，n为大于1的整数
按照低通抽样定理，抽样频率满足fs≥2nB,抽样后的频谱不会发生重叠
按照带通抽样定理，抽样频率满足fs=2B,抽样后的频谱不会发生重叠
②信号最高频率fH不等于信号带宽B的整数倍，即fH=nB(1+k/n)
若要求抽样后的频谱不产生重叠，需满足2(n+k)B=nfs，即fs=2B(1+k/n)