在初遇排列组合题目时,总让人摸不着头脑,但是做多了题目后,发现几乎能用同一个模板做完所有这种类型的题目,大大提高了解题效率。本文简要介绍这种方法。
所有题目均从leetcode查找,便于在线验证
46.全排列
47.全排列 II
78.子集
90.子集 II
39.组合总和
40.组合总和 II
本文所有题目都可以用以下模板代码解决:
public class Template{
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
dfs(nums, path);
return res;
}
private void dfs(int[] nums, LinkedList<Integer> path) {
if (path.size() == nums.length) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
path.addLast(nums[i]);
dfs(nums,path);
path.removeLast();
}
}
}
上述代码是求nums(无重复元素)的全排列,每个元素允许选择多次。以1,2,3为例,如下图所示,从上往下看,选择第一个元素的时候,
可以选择1,2,3,假设第一个选定为1(将选定的元素存入path中,即path=[1]),那么第二个元素也能选择1,2,3,同理,第二个元素也选择1,即path=[1,1]时,选择第三个元素,依然能选择1,2,3。当第三个元素选定后,此时path的长度等于nums的长度,一个排列结果就计算出来了,加入到结果res中去,接着回溯,按照同样的逻辑运行下去,最后得到全排列结果。
给定一个不含重复数字的数组 nums ,返回其所有可能的全排列 。你可以按任意顺序返回答案。
示例 1:
输入: nums = [1,2,3]
输出:[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
示例 2:
输入: nums = [0,1]
输出:[[0,1],[1,0]]
示例 3:
输入: nums = [1]
输出:[[1]]
和模板代码相比,只多一个限制:
- 一个元素只能选择一次。
还是以1,2,3为例,如下图,当path=[1],选择第二个元素时,由于已经选择了1,所以再选择1时,应该被剪掉(红叉表示)。
为了判断某个元素是否被使用过,可以定义一个used数组,维护方式如下:
package leetcode.plzh;
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class Permute_046 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
if(nums.length==0) return res;
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
int[] used = new int[nums.length];
dfs(nums, path, used);
return res;
}
private void dfs(int[] nums, LinkedList<Integer> path, int[] used) {
if (path.size() == nums.length) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if(used[i]==1) continue;//剪枝,同个元素不能选择多次
path.addLast(nums[i]);
used[i] = 1;
dfs(nums,path,used);
path.removeLast();
used[i] = 0;
}
}
}
求数字数组(无重复元素)的全排列,在模板代码的基础上修改:
给定一个可包含重复数字的序列 nums ,按任意顺序 返回所有不重复的全排列。
示例 1:
输入: nums = [1,1,2]
输出:
[[1,1,2],
[1,2,1],
[2,1,1]]
示例 2:
输入: nums = [1,2,3]
输出:
[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
和模板代码相比,多了以下限制:
- 一个元素只能选择一次。
- 可能存在重复元素
重复元素造成之前的全排列结果存在重复,现在的问题是怎么去重?
以1,1,2为例,如下图,我们第一个元素可以选择1,1,2,很明显选择第一个1的排列和选择第二个1的排列情况相同,所以选择第二个1的时候应该剪枝。为了判断重复,可以先将nums从小到大排序,如果:i>0&&nums[i]==nums[i-1],说明重复,应该剪枝(i等于0时,代表该元素第一次被选择,肯定不存在重复)。
需要注意的是,再上图绿色标记部分,此时path=[1], 选择第二个元素时,遍历i的范围为0,1,2。即第二个元素有可能加入nums[0],nums[1],nums[2]。
- i=0时,如果第二个元素选择nums[0],因为path中已经选择了第一个1,所以剪枝(used[i]==1)
- i=1时,path:[1,1]
- i=2时,path:[1,2]
上面的步骤2来看,满足条件:i>0&&nums[i]==nums[i-1],按照上面的逻辑,应该被剪枝,但是显然[1,1,2]是一个合法的排列结果,不应该被剪掉。仔细观察发现,只有同层存在相同元素时才应该剪枝,不同层则不应该剪。
- 对于应该被剪枝的部分(红x标记),回溯后,第一个1会被标记为未使用,即:nums[i-1]=0
- 对于不应该被剪枝的部分(绿色标记),第一个1会被标记为使用,即:nums[i-1]=1
现在我们只取情况1,所以判断条件可以改写为:nums[i]==nums[i-1]&&used[i-1]==0
package leetcode.plzh;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class PermuteUnique_047 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return res;
List<Integer> path = new ArrayList<>();
int[] used = new int[nums.length];
Arrays.sort(nums);//排序,方便判断同层是否重复,nums[i-1]==nums[i]则重复
dfs(nums, path, used);
return res;
}
private void dfs(int[] nums, List<Integer> path, int[] used) {
if (path.size() == nums.length) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (used[i] == 1) continue;//剪枝,同个元素不能选多次,
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0) continue;//剪枝,避免同层重复
path.add(nums[i]);
used[i] = 1;
dfs(nums, path, used);
path.remove(path.size() - 1);
used[i] = 0;
}
}
}
求数字数组(有重复元素)的全排列,在模板代码的基础上修改:
给你一个整数数组 nums ,数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集(幂集)。
解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。
示例 1:
输入: nums = [1,2,3]
输出:[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
示例 2:
输入: nums = [0]
输出: [[],[0]]
和模板代码相比,多了以下限制:
- 一个元素只能选择一次。
- 求子集,其长度不一定是nums.length,而是在这个范围:[0,nums.length]
- 求的是组合,而非排列,即[1,2],[2,1]是同一种结果
对于限制2:
长度不再是nums.length,那么在向res加入path时,应该分别判断长度是0~nums.length时,加入结果。
对于限制3:
以1,2,3为例,如果将nums排序后,path后入的元素比上一个元素还要小时,应该剪枝。
package leetcode.plzh;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class Subsets_078 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return res;
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
int[] used = new int[nums.length];
Arrays.sort(nums);//保证后入的元素一定大于先入的元素,所以排序
for (int i = 0; i <= nums.length; i++) {
dfs(nums, path, used, i);
}
return res;
}
private void dfs(int[] nums, LinkedList<Integer> path, int[] used, int len) {
if (path.size() == len) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (used[i] == 1) continue;//剪枝,同个元素不能选多次,
if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.peekLast()) continue;//剪枝,选择的下个元素比上个元素还要小
path.addLast(nums[i]);
used[i] = 1;
dfs(nums, path, used, len);
path.removeLast();
used[i] = 0;
}
}
}
可以优化如下:
dfs中的for循环不是固定从0开始,而是从传入的begin开始。第一个元素从0开始找,第二个元素就只能从1开始找。总是从排序数组的下个元素找,包含两个隐含信息,同一个元素不可能被同时选择多次;下一个总是大于上一个元素。所以之前的剪枝逻辑都可以去掉。
package leetcode.plzh;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class Subsets_078 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return res;
List<Integer> path = new ArrayList<>();
Arrays.sort(nums);
dfs(nums, 0,path);
return res;
}
private void dfs(int[] nums, int begin,List<Integer> path) {
res.add(new ArrayList<>(path));
for (int i = begin; i < nums.length; i++) {
path.add(nums[i]);
dfs(nums, i+1,path);//不能继续找当前元素,直接找下个元素,path中不可能选择到同一个元素,下一个也始终比上一个大
path.remove(path.size() - 1);
}
}
}
求数组(无重复元素)的子集:
1.对nums排序
2.修改dfs中的for循环,让i从begin开始,下次遍历时用dfs(nums, i+1,path)
给你一个整数数组 nums ,其中可能包含重复元素,请你返回该数组所有可能的子集(幂集)。
解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中,子集可以按 任意顺序 排列。
示例 1:
输入: nums = [1,2,2]
输出:[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]
示例 2:
输入: nums = [0]
输出: [[],[0]]
和78 子集相比,多了以下限制:
- nums可能包含重复数组
去重逻辑:同层相同则剪枝,nums[i]==nums[i-1]&&used[i-1]==0
package leetcode.plzh;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class SubsetsWithDup_090_02 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return res;
List<Integer> path = new ArrayList<>();
int[] used = new int[nums.length];
Arrays.sort(nums);
dfs(nums, 0, path, used);
return res;
}
private void dfs(int[] nums, int begin, List<Integer> path, int[] used) {
res.add(new ArrayList<>(path));
for (int i = begin; i < nums.length; i++) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0) continue;//同层相同,则剪枝
path.add(nums[i]);
used[i] = 1;
dfs(nums, i + 1, path, used);
path.remove(path.size() - 1);
used[i] = 0;
}
}
}
求数组(有重复元素)的子集:
1.对nums排序
2.修改dfs中的for循环,让i从begin开始,下次遍历时用dfs(nums, i+1,path)
3. 增加同层相同元素的剪枝逻辑:i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0
给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ,找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ,并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。
candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同,则两种组合是不同的。
对于给定的输入,保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。
示例 1:
输入:candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出:[[2,2,3],[7]]
解释:
2 和 3 可以形成一组候选,2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选, 7 = 7 。
仅有这两种组合。
示例 2:
输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]
示例 3:
输入: candidates = [2], target = 1
输出: []
和78 子集相比,多了以下限制:
- 一个元素可以选择多次
- 目标和要等于target
对于限制1:修改dfs中下一个遍历为:dfs(nums, i,path),
对于限制2:只有当目标和等于target时,才加入res中,为了避免死循环,比如一直选第一个元素,当path中的和大于target时,应该中止该分支的查找(不再向path中加入新的值),直接return。
package leetcode.plzh;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class CombinationSum_039 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
List<Integer> path = new ArrayList<>();
Arrays.sort(candidates);
dfs(candidates, 0, path, target);
return res;
}
private static int cnt = 0;
private void dfs(int[] candidates, int begin, List<Integer> path, int target) {
int total = path.stream().reduce(0, Integer::sum);
if (total > target) return;
if (total == target) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = begin; i < candidates.length; i++) {
path.add(candidates[i]);
dfs(candidates, i, path, target);
path.remove(path.size() - 1);
}
}
}
在上面的代码中,每次dfs都是要对path求和,效率低下,我们可以直接传入target,固定第一个元素后,找下一个元素,target应该要减去当前元素。比如要在2,3,5中找和为8的组合,那么固定第一个元素2,下面就应该时找等于8-2的组合。当target为0时,说明path的和就等于target,当target小于0时,说明path中的累加和已经超过了原来的target,此时return。
package leetcode.plzh;
import java.util.*;
public class CombinationSum_039 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
List<Integer> path = new ArrayList<>();
Arrays.sort(candidates);
dfs(candidates, 0, path, target);
return res;
}
private void dfs(int[] candidates, int begin, List<Integer> path, int target) {
if(target<0) return;
if (target == 0) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = begin; i < candidates.length; i++) {
path.add(candidates[i]);
dfs(candidates, i, path, target-candidates[i]);
path.remove(path.size() - 1);
}
}
}
给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ,找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用 一次 。
注意:解集不能包含重复的组合。
示例 1:
输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]
示例 2:
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]
和39 组合总和相比,多了以下限制:
- 一个元素只能选择一次
- 可能存在重复元素
对于限制1
可以dfs中遍历时,查找下一个元素即可:dfs(candidates, i+1, path, target-candidates[i]);
对于限制2:
新增去重逻辑:同层相同则剪枝,nums[i]==nums[i-1]&&used[i-1]==0
package leetcode.plzh;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class CombinationSum2_040 {
private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
Arrays.sort(candidates);
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
int[] used = new int[candidates.length];
dfs(candidates, 0, path, target,used);
return res;
}
public void dfs(int[] candidates, int begin, LinkedList<Integer> path, int target,int[] used) {
if (target < 0) return;
if (target == 0) {
res.add(new ArrayList<>(path));
}
for (int i = begin; i < candidates.length; i++) {
if(i>0&&candidates[i]==candidates[i-1]&&used[i-1]==0) continue; //同层相同剪枝
path.addLast(candidates[i]);
used[i] = 1;
dfs(candidates, i + 1, path, target - candidates[i],used);
path.removeLast();
used[i] = 0;
}
}
}