【算法基础】分解质因数

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什么是分解质因数

分解质因数是指将一个合数用质因数相乘的形式表示出来，即将一个合数分解为若干个质数的乘积。其中每个质数都是这个合数的因数。例如，将30分解质因数，得到2×3×5，即将30表示为2、3、5三个质数的乘积。分解质因数只针对合数，对于质数和1，不需要进行分解质因数。

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具体案例

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

对于每个正整数 $a_i$，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围

$1\le n\le 100$,
$2\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

2
6
8

输出样例：

2 1
3 1

2 3

原理讲解

原始方法

原始的分解质因数的方法，是从小到大遍历所有小于n的数i，如果n % i == 0 且i为素数，那么i就是其中的一个质因数。
按照这样的思路，我们只需要判断一次取余运算，判断一次素数。但是对于这道题的数据范围，一定会TLE。

转换思路

由于这道题还需要求出每个质因数的指数，那每次找到这个质因数之后，让n不停的除这个数i，直到除完为止，每除一次就表示次数+1
这样就不需要把n遍历完，每找到一个素数k，n会减小1~k^s倍
但是每次除法的过程也会有s次操作，数据范围仍然不允许

利用试除法判定质数的思路

可以把试除的时间复杂度降到O(sqrt(n))
只需要判断sqrt(n)以内的质因数，但是sqrt(n)~n之间可能存在质因数且最多一个，所以在遍历完之后需要判断n是否被除尽，如果还有剩，那剩下的这个一定是一个质因数。

为什么不需要单独判断是否为质数

这其实用到了埃氏筛法筛素数的一个原理：
我们每判断完一个素数x，就在2 - i-1之间把x的倍数筛了一遍了，于是在2 - i-1之间就不存在x的倍数了
反证法证一下：
假设我们遍历到一个数i是一个合数，那么它可以分解质因数，那么在2 - i-1之间就一定可以找到一个质数是i的因数，而根据我们的算法，前面所有遇到的质数已经把该质数的倍数除干净了，所以不存在任何一个质数的倍数，所以它在前面找不到一个质因数，所以它一定不是合数，与假设相矛盾，所以它一定是质数。

#include
using namespace std;

void divide(long long n){
    // int x = sqrt(n);
    int i;
    for(i = 2; i <= n / i; i++){
        if(n % i == 0){
            int s = 0;
            while(n % i == 0){
                n /= i;
                s++;
            }
            cout << i << " " << s << endl;
        }
    }
    if(n > 1) cout << n << " " << 1 << endl; 
    cout << endl;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        long long a;
        cin >> a;
        divide(a);
    }

    return 0;
}

作者：为梦而生
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来源：AcWing
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