二分法

二分法

一、定义

 二分法，即一分为二的方法。通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

二、原理

 以在一个升序数组中查找一个数为例。
 它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

三、思路

 二分查找是一种在有序数组中查找某一特定元素的查找算法。
 查找过程从数组的中间元素开始：如果中间元素正好是要查找的元素，则查找过程结束；
如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。
如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。

四、二分答案

 二分答案，即通过题目中包含的单调性对答案进行二分。大多数二分答案可以看做是标准二分法套了一个函数。 解答需要使用二分答案的题目，最重要的是观察出单调性。
 通常来说，二分答案题目为下列两种中的一种：给定一个评价函数，求评价函数的最小值 / 最大值 。给定一个条件，要求在满足条件的同时，使得代价最小。计算函数或者判断符合条件需要消耗极长的时间；或者评价函数的值域太大了，不能一一计算。

五、经典题目

二分法求函数的零点

 题目：
  有函数：
  $f(x)=x^5-15\ast x^4+85\ast x^3-225\ast x^2+274\ast x-121$
  已知$f(1.5)>0,f(2.4)<0$, 且方程$f(x)=0$在区间$[1.5,2.4]$有且只有一个根，请用二分法求出该根。
  要求四舍五入到小数点后6位
 分析：
  此题用二分查找，查找答案区间，如果答案精度小于了0.000001，则退出循环，否则就判断函数值的大小，决定向左还是向右查找。
 代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
double f(double n) {
	return pow(n, 5) - 15 * pow(n, 4) + 85 * pow(n, 3) - 225 * pow(n, 2) + 274 * n - 121;
}
int main() {
	double l = 1.5, r = 2.4, mid;
	while(r - l > 0.000001) {
		mid = (l + r) / 2;
		if(f(mid)  > 0) {
			l = mid;
		} else {
			r = mid;
		}
	}
	printf("%.6lf", mid);
	return 0;
}