计算机组成原理：定点数的运算

1、定点数的加减运算

(1) 原码的加减运算

原码的加减运算规则：
先判别两数符号。对于加法，相同为加，相异为减；对于减法，相同为减，相异为加；
减运算时，比较两数的绝对值，并以较大绝对值减去较小绝对值。
符号位不参与运算；符号在数值位运算结束后确定。

缺点：原码加减法过程在计算机中过于复杂。

(2) 反码的加法运算

反码加法在最高位进位而丢掉高位时，必须在最低位补上 +1。

(3) 补码的加减运算

补码的加减运算是目前计算机中普遍采用的加减法实现的运算方式。
补码加减运算规则：

1. 对于加法，有[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补
2. 对于减法，有[X-Y]补 = [X]补 + [-Y]补
3. [Y]补的各位（包括符号位）均取反，然后最低位+1，可以得到[-Y]补；当然，也可以直接对-Y求补码。
4. 符号位与数值位一起参与运算，运算得到的符号位即为结果的符号。

(4) 溢出的判别方法

当运算结果超出了机器数的位数所能表示的数值范围时，称为溢出或上溢。

对应的概念是，浮点数中数值的绝对值小于浮点数能表示的绝对值最小的数时，称为下溢。

由于计算机中实现加减运算往往使用补码，因此这里只给出补码加减的溢出判别法：

1) 符号对比法

由于在加减运算中，只有当加法同号时才会发生溢出。(减法异号由补码加减规则可以变为加法同号)
因此，在加法中，若两加数符号相同，只需比较结果得出的符号是否发生变化，即可得知是否发生溢出。
设加数X的符号位为fx,Y的符号位为fy,结果的符号位为fs。则溢出发生的判断式为：f = fx·fy·~fs + ~fx·~fy·fs

2) 进位匹配法

由方法1可以发现，当最高数值位产生进位，而符号位不进位时，必然发生符号改变；若最高数值位不进位，而符号位进位时，也必然发生符号改变。因此，判断最高数值位和符号位的进位是否匹配，就可以得知是否发生溢出。
设最高数值位的进位为Cn,符号位的进位为Cs，则溢出发生的判断式为： f = C ⊕ Cs

3) 双符号位法

由方法2可以发现，假设符号位前还有一位，当进位不匹配时，会影响符号位和其前一位的数值。由此可以总结出一种新的溢出判别法：用两位符号位表示正负，其中00为正，11为负。运算时，两个符号位均参与运算。若结果的符号位出现01和10的异常情况，说明发生了溢出；否则没有溢出。其中，10表示发生负溢出，01表示发生正溢出。
设低符号位为S1，高符号位为S2，则溢出发生的判断式为：f = S1 ⊕ S2

由于补码的减法是通过加法实现，因此再转为加法运算后，均可用以上方法判断溢出。

2、定点数的乘法运算

(1) 定点原码一位乘法

定点原码一位乘法的运算规则如下：

1. 初始状态下，部分积为全0。
2. 判断乘数的最低位。若最低位为0，部分积不变；最低位为1，部分积加上被乘数。
3. 将部分积和乘数右移，乘数右移丢弃的部分已经完成运算不再需要；部分积右移丢弃的部分存入乘数的左边，结束时取出。
4. 重复如上步骤，直到乘数原有的所有位全部被读完(共重复n次)。
5. 最后一次右移后，得到的部分积是结果的高位部分，乘数中存储的是结果的低位部分。
6. 将高位和低位部分拼接，并判断符号位，可以得到最终结果。

缺点：由于大部分计算机中加减运算均采用补码运算。因此采取原码乘法还需要额外的转换。

(2) 定点补码一位乘法：校正法

给出定点补码一位乘法的规则前，先说明补码的移位：
补码在符号位为0时，不变；符号位为1时，右移需在高位补1。双符号位下，01右移变为00，10右移变为11。

补码的乘法中，不同的乘数对应有不同的运算规则：
对于Y>0，[X·Y]补 = [X]补 · [Y]补
对于Y<0，[X·Y]补 = [X]补 · [Y]补的数值部分 + [-X]补
这种对于Y<0单独作修正的方法，称为定点补码一位乘法的校正法。

校正法的运算规则如下：

1. 首先判断乘数的符号(被乘数的符号无需考虑)，确定是否需要校正；
2. 部分积和被乘数采用两位符号位，并计算第一步：[x]补 · [Y]补的数值部分，该步骤方法与原码相似，但符号位参与运算。
3. 若Y<0，对上面的结果作 +[-X]补 的修正，即可得到最终结果。

缺点：校正法的计算需要判断是否需要修正，对计算机来说过于复杂。

(3) 定点补码一位乘法：Booth算法

Booth算法不需要判断是否校正，实现了补码一位乘法运算的统一。

Booth算法的运算规则如下：

1. 部分积和被乘数均采用两位符号位，乘数采用一位符号位；乘数在最低位另设一位低位，初始为0；
2. 判断乘数的最低两位情况，对于00和11，部分积不变；01时部分积+[X]补；10时部分积+[-X]补；之后做一次右移；
3. 重复步骤2，直到乘数右移至只剩两位原有的数(应为一个符号位和一个最高数值位)，共重复n次；
4. 进行最后一次判断(共做n+1次)，处理部分积但不做移位，将得到的部分积与乘数储存的低位部分拼接，得到最终结果。

3、定点数的除法运算

(1) 定点原码一位除法：恢复余数法

在除法过程中，需要用余数减去除数，可能会出现余数等于除数，大于除数或小于除数三种情形；等于除数时表示除尽，上商为1并结束计算；大于除数时，上商为1，完成减法并移位后重复操作；小于除数时，上商为0并移位后重复操作。由这个思路可以得到恢复余数法的运算规则。

恢复余数法的运算规则如下：

1. 初始余数为被除数，以两位符号位表示，不参与运算；
2. 对余数+[-x]补，得到新的余数；若新余数为正，上商为1；若新余数为负，上商为0，并加上[x]补恢复余数；
3. 上商步骤完成后，余数左移一位，得到新余数；
4. 重复上面的步骤，直到达到规定的精度或除尽。
5. 商即为上商得到的结果；余数为最后一次得到的余数 R * 2^-n

缺点：恢复余数法时，对于余数小于0的情形需要多做一个加法操作，增加了计算次数；而且余数的正负性随着被除数和除数改变而改变，不具有规律性，因此在计算机内需要进行的计算次数不能固定，给电路的设计增加了困难。

(2) 定点原码一位除法：加减交替法

根据恢复余数法，可以得到：y>0时，下一次运算的结果为2R - |Y|；y<0时，下一次运算的结果为2(R+ |Y|) - |Y| = 2R + Y。
注：左移一次，若左边丢弃的数是0，就相当于整个数乘以2。
由此，我们可以使用在不同情况下的交替加减的方法来代替恢复余数法，以此确定计算的次数。这种方法叫做加减交替法。

加减交替法的运算规则如下：

1. 初始余数为被除数，以两位符号位表示，不参与运算；
2. 若余数为正，加上[-Y]补；若余数为负，加上[Y]补；由此得到新余数
3. 若新余数为正，上商为1并左移；若新余数为正，上商为0并左移；
4. 重复上面的步骤，直到达到规定的精度或除尽；若最后一次的余数为负，需要恢复余数以得到正确的余数；
5. 商即为上商得到的结果；余数为最后一次得到的余数 R * 2^-n