【learning from data】2.1.2 Bounding the Growth Function 48页

be shattered (since no k-subset of all N points can be shattered), we deducethat

a+⩽B(N-1,k)                   (2.5)

by definition of B.

这段话在讨论如何使用递归关系来计算B(N, k)的上界。首先，作者指出，由于没有k个点的子集可以被完全捕获（shattered），所以a + β必须小于或等于B(N-1, k)，这是B的定义。

Further, no subset of size k- 1 of the first N - 1 points canbe shattered by the dichotomies in . If there existed such a subset,thentaking the corresponding set of dichotomies in and adding XN to the datapoints yields a subset of size k that is shattered,which we know cannot existin this table by definition of B(N,k). Therefore,

⩽B(N-1,k-1)                     (2.6)

此外，前N-1个点中大小为k-1的子集也不能被中的二分法捕获。如果存在这样一个子集，那么将中相应的二分法与xN添加到数据点中将产生一个大小为k的子集，它是被完全捕获的，但根据B(N, k)的定义，我们知道在这个表格中这种情况是不存在的。因此，我们得到了以下不等式：

≤ B(N-1, k-1)

Substituting the two Inequalities (2.5) and (2.6) into (2.4), we get
 

B(N,k)≤B(N - 1,k)＋B(N - 1,k - 1).     (2.7)

We can use (2.7) to recursively(递归) compute a bound on B(N,k),as shown in thefollowing table.
 

 where the first row (N = 1) and the first column (k = 1) are the bound-ary conditions that we already calculated. We can also use the recursion tobound B(N.k) analvtically.

将不等式（2.5）和（2.6）代入不等式（2.4），我们得到：

B(N, k) ≤ B(N-1, k) + B(N-1, k-1)

这是一个递归关系，允许我们计算B(N, k)的上界。作者提供了一个表格，展示了如何使用这个递归关系来计算B(N, k)的上界，其中第一行（N = 1）和第一列（k = 1）是我们已经计算过的边界条件。此外，我们也可以使用这个递归关系来分析计算B(N, k)的上界。