深入浅出分治算法

一,如何理解分治算法

分治算法(divide and conquer)的核心思想其实就是四个字,分而治之 ,也就是将原问题划分成 n 个规模较小,并且结构与原问题相似的子问题,递归地解决这些子问题,然后再合并其结果,就得到原问题的解。

分治和递归的区别:分治算法是一种处理问题的思想,递归是一种编程技巧

分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中,每一层递归都会涉及这样三个操作:

  • 分解:将原问题分解成一系列子问题;
  • 解决:递归地求解各个子问题,若子问题足够小,则直接求解;
  • 合并:将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题,一般需要满足下面这几个条件:

  • 原问题与分解成的小问题具有相同的模式;
  • 原问题分解成的子问题可以独立求解,子问题之间没有相关性,这一点是分治算法跟动态规划的明显区别;
  • 具有分解终止条件,也就是说,当问题足够小时,可以直接求解;
  • 可以将子问题合并成原问题,而这个合并操作的复杂度不能太高,否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

二,分治算法案例

假设我们有 n 个数据,我们期望数据从小到大排列,那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2,逆序度等于 0;相反,倒序排列的数据的有序度就是 0,逆序度是 n(n-1)/2

除了这两种极端情况外,如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢

使用归并排序算法可以解决这个问题。归并排序中有一个非常关键的操作,就是将两个有序的小数组,合并成一个有序的数组。在每次合并操作中,我们都计算逆序对个数,把这些计算出来的逆序对个数求和,就是整个数组的逆序对个数了。C++ 代码如下:


int num = 0; // 全局变量或者成员变量

void mergeSortCounting(int A[], int p, int r){
    if(p>=r) return;
    int q = (p+r)/2;
    mergeSortCounting(A, p, q);
    mergeSortCounting(A, q+1, r);
    merge(A, p, q, r);
}

void merge(int[] A, int p, int q, int r) {
    // 两个游标 i 和 j,分别指向 A[p...q]和 A[q+1...r]的第一个元素。
    int i = p, j = q+1, k = 0;
    int[] tmp = new int[r-p+1];
    while (i<=q && j<=r) {
        if (A[i] <= A[j]) {
            tmp[k++] = A[i++];
        } 
        else {
            // 若当前的A[i] > A[j],则A[i++]必然大于A[j]
            num += (q-i+1); // 统计p-q之间,比 A[j] 大的元素个数
            tmp[k++] = A[j++];
        }
    }

    // 将剩余的数据拷贝到临时数组 tmp
    while (i <= q) { 
        tmp[k++] = A[i++];
    }
    while (j <= r) { 
        tmp[k++] = A[j++];
    }

    for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从 tmp 拷贝回 A
        A[p+i] = tmp[i];
    }
}

其他两道比较经典的问题:

  • 二维平面上有 n 个点,如何快速计算出两个距离最近的点对?
  • 有两个 n ∗ n n*n nn 的矩阵 AB,如何快速求解两个矩阵的乘积 C=A*B

分治算法用四个字概括就是“分而治之”,将原问题划分成 n 个规模较小而结构与原问题相似的子问题,递归地解决这些子问题,然后再合并其结果,就得到原问题的解。分治算法的思想还是非常简单、好理解。

参考资料

分治算法:谈一谈大规模计算框架MapReduce中的分治思想

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