深入浅出分治算法

一，如何理解分治算法

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之 ，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

分治和递归的区别：分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。

分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

• 分解：将原问题分解成一系列子问题；
• 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
• 合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

• 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
• 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别；
• 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
• 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

二，分治算法案例

假设我们有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。

除了这两种极端情况外，如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？

使用归并排序算法可以解决这个问题。归并排序中有一个非常关键的操作，就是将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。在每次合并操作中，我们都计算逆序对个数，把这些计算出来的逆序对个数求和，就是整个数组的逆序对个数了。C++ 代码如下：

int num = 0; // 全局变量或者成员变量

void mergeSortCounting(int A[], int p, int r){
    if(p>=r) return;
    int q = (p+r)/2;
    mergeSortCounting(A, p, q);
    mergeSortCounting(A, q+1, r);
    merge(A, p, q, r);
}

void merge(int[] A, int p, int q, int r) {
    // 两个游标 i 和 j，分别指向 A[p...q]和 A[q+1...r]的第一个元素。
    int i = p, j = q+1, k = 0;
    int[] tmp = new int[r-p+1];
    while (i<=q && j<=r) {
        if (A[i] <= A[j]) {
            tmp[k++] = A[i++];
        } 
        else {
            // 若当前的A[i] > A[j]，则A[i++]必然大于A[j]
            num += (q-i+1); // 统计p-q之间，比 A[j] 大的元素个数
            tmp[k++] = A[j++];
        }
    }

    // 将剩余的数据拷贝到临时数组 tmp
    while (i <= q) { 
        tmp[k++] = A[i++];
    }
    while (j <= r) { 
        tmp[k++] = A[j++];
    }

    for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从 tmp 拷贝回 A
        A[p+i] = tmp[i];
    }
}

其他两道比较经典的问题：

• 二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？
• 有两个 $n\ast n$ 的矩阵 A，B，如何快速求解两个矩阵的乘积 C=A*B？

分治算法用四个字概括就是“分而治之”，将原问题划分成 n 个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。分治算法的思想还是非常简单、好理解。

参考资料

分治算法：谈一谈大规模计算框架MapReduce中的分治思想