矩阵乘法的四种理解方式

首先先明确一下符号,
X i j X_{ij} Xij表示矩阵i行j列 的元素,
X i _ X_{i\_} Xi_表示i行向量
X _ j X_{\_j} X_j表示j列向量

A=BC有这么几种理解方式

  1. B的第i行乘以C的第j列得到矩阵 A i j A_{ij} Aij元素, A i j = B i _ C _ j A_{ij}=B_{i\_}C_{\_j} Aij=Bi_C_j
  2. B的列向量的线性组合得到A的第i列向量,系数是C的第i列向量, A _ i = B C _ i A_{\_i}=BC_{\_i} A_i=BC_i
  3. C的行向量的线性组合得到A的第i行向量,系数是B的第i行向量, A i _ = B i _ C A_{i\_}=B_{i\_}C Ai_=Bi_C
  4. B的第i列乘以C的第i行得到的所有矩阵之和就是A, A = ∑ B _ i ∗ C i _ A=\sum B_{\_i}*C_{i\_} A=B_iCi_

另外矩阵可以分块乘法,法则和普通乘法一样

另外23理解方式分别有一种扩展

  • 2.1. y = B x y=Bx y=Bx 即把B列空间的坐标x变到欧式空间,它在欧式空间的坐标是y
  • 3.1 y = x T C y=x^TC y=xTC 即把C行空间中的x变到欧式空间,它在欧式空间的坐标是y
    补充两点,列空间是列向量作为基向量构成的空间,欧式空间基座标是(1,0,0…),(0,1,0,…)这样的形式

同时当B或者C是正交矩阵时,又有了新的理解方式

  • 2.2 y = B x y=Bx y=Bx 是在旋转x,旋转矩阵就是B
  • 2.3 y = x T C y=x^TC y=xTC 是在旋转x,旋转矩阵就是C

给点直观的展示
B= [ 1 2 3 4 ] \begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix} [1324] C = [ 5 6 7 8 ] \begin{bmatrix} 5&6\\7&8 \end{bmatrix} [5768]
第一种方式应该算是矩阵乘法的定义,我们先算一下
A 11 = [ 12 ] ∗ [ 57 ] = 1 ∗ 5 + 2 ∗ 7 = 19 A_{11} = [1 2] * [5 7] = 1 * 5+2 * 7 =19 A11=[12][57]=15+27=19
A 12 = 1 ∗ 6 + 2 ∗ 8 = 22 A_{12} = 1 * 6 + 2 * 8 =22 A12=16+28=22
A 21 = 3 ∗ 5 + 4 ∗ 7 = 43 A_{21}= 3 * 5 + 4 * 7 =43 A21=35+47=43
A 22 = 3 ∗ 6 + 4 ∗ 8 = 50 A_{22}= 3 * 6 + 4 * 8 =50 A22=36+48=50
所以A= [ 19 22 43 50 ] \begin{bmatrix} 19&22\\43&50 \end{bmatrix} [19432250]

第二种理解方式:
A的第一列等于 [ 1 3 ] \begin{bmatrix}1\\3 \end{bmatrix} [13] * 5 + [ 2 4 ] \begin{bmatrix}2\\4 \end{bmatrix} [24] * 7= [ 19 43 ] \begin{bmatrix}19\\43 \end{bmatrix} [1943]
A的第二列等于 [ 1 3 ] \begin{bmatrix}1\\3 \end{bmatrix} [13] * 6 + [ 2 4 ] \begin{bmatrix}2\\4 \end{bmatrix} [24] * 8= [ 22 50 ] \begin{bmatrix}22\\50 \end{bmatrix} [2250]

第三种理解方式:
A的第一行等于 1* [ 5 6 ] \begin{bmatrix}5&6 \end{bmatrix} [56] + 2* [ 7 8 ] \begin{bmatrix}7&8 \end{bmatrix} [78]= [ 19 22 ] \begin{bmatrix}19&22 \end{bmatrix} [1922]
A的第二行等于 3* [ 5 6 ] \begin{bmatrix}5&6 \end{bmatrix} [56] + 4* [ 7 8 ] \begin{bmatrix}7&8 \end{bmatrix} [78]= [ 43 50 ] \begin{bmatrix}43&50\end{bmatrix} [4350]

第四种理解方式:
组成A的第一个矩阵是 [ 1 3 ] \begin{bmatrix}1\\3 \end{bmatrix} [13] * [ 5 6 ] \begin{bmatrix}5&6 \end{bmatrix} [56] 这个是矩阵乘法,套用第一种理解方式可以算出是 [ 5 6 15 18 ] \begin{bmatrix} 5&6\\15&18 \end{bmatrix} [515618]

组成A的第二个矩阵是 [ 2 4 ] \begin{bmatrix}2\\4 \end{bmatrix} [24] * [ 7 8 ] \begin{bmatrix}7&8 \end{bmatrix} [78] = [ 14 16 28 32 ] \begin{bmatrix} 14&16\\28&32 \end{bmatrix} [14281632]
这两个一加就等于 [ 19 22 43 50 ] \begin{bmatrix} 19&22\\43&50 \end{bmatrix} [19432250]

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