【算法】牛顿迭代法的下山法改进

算法-牛顿迭代法的下山法改进

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前置知识

• 牛顿迭代法

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思路

在牛顿迭代法一文中，我提到了牛顿迭代法的迭代不收敛问题。
在本文中，我们来讨论牛顿迭代法的改进方案之一——下山法。
让我们回顾一下牛顿迭代法的迭代式$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$
为什么上式存在迭代不收敛的问题呢？还是看一个例子。

这是方程 $\sqrt[3]{x}=0$ 使用普通牛顿迭代的结果。离离原上谱
不难发现，该迭代不收敛的主要体现在 $|f(x_{k+1})|>|f(x_k)|$
这时，下山法登场了！
我们原式基础上加上一个变量 $\lambda$$$x_{k+1}=x_k-\lambda \frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$
如果发现 $|f(x_{k+1})|\ge |f(x_k)|$，则让 $\lambda$ 减半。
我们可以证明下山法可以有效地解决迭代不收敛的问题，同时也解决了 $x_0$ 随机取值的不确定性。

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实现代码

其实是原来那一段的改版……
此程序用来处理整次数多项式方程的根。

void NewtonIterationMethod_DownHillMethod(){//f(x)=0
	ll k;long double a[6],x;
	cout<<"This code will help you solve f(x)=0(decimal solution)!\n";
	cout<<"Please type in the maxium power times k:";cin>>k;
	cout<<"please type in k+1 numbers, which is the coefficient of x^0 to x^k:";for (ll i=0;i<=k;i++) cin>>a[i];
	cout<<"Please type in the initial solution x0:";cin>>x;
	cout<<"We can use Newton iteration method's down-hill method to solve the equation\n";
	for (ll i=1;;i++){
		double lmd=1.000;
		Halve:printf("We use the folmula x%d=x%d-k*f(x%d)/f'(x%d) to calculate x%d\n",i,i-1,i-1,i-1,i);
		long double f1=0.000,f2=0.000;
		for (ll i=0;i<=k;i++) f1=f1+a[i]*pow(x,i);
		for (ll i=1;i<=k;i++) f2=f2+i*a[i]*pow(x,i-1);
		assert(fabs(f2)>eps);
		long double xp=x-lmd*f1/f2;
		printf("So, we can get that x%d=%.18Lf\n",i,xp);
        double f3=0.000;
		for (ll i=0;i<=k;i++) f3=f3+a[i]*pow(xp,i);
		if (fabs(f3)>fabs(f1)){
            lmd=lmd/2.000;
            printf("But we get |f(x%d)|>|f(x%d)|, so we halve k.\n",i,i-1);
            goto Halve;
        }
		x=xp;
		ll f;
		cout<<"Do you want another calculation?\ntype 1 for yes, or type any other for no:";cin>>f;
		if (f!=1) break;
	}
	printf("So the solution we get is: x=%.18Lf\n",x);
}

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练习

• Leetcode69 x 的平方根
• 洛谷B3627 立方根
• UVA10428 The Roots 原题链接 这才是牛顿迭代法该用的地方