【数据结构】前缀和

数据结构-前缀和

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前置知识

• C++入门

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思路

区间问题是一种经典问题。
区间问题的一个经典形式是：给定一个长度为 $n$ 的数组，$q$ 次询问，每次询问输出区间 $[l,r]$ 中的元素和。
这是前缀和的经典例题。
首先考虑暴力。
每次询问，枚举区间，依次求和。
时间复杂度 $O(n+nq)$，直接爆炸。
天空一声巨响，前缀和闪亮登场
不难发现关于 $[l,r]$ 区间和的一些性质：
$$\sum _{i=l}^r{a}_i=\sum _{i=1}^r{a}_i-\sum _{i=1}^{l-1}{a}_i$$
而，我们知道
$$\sum _{i=1}^k{a}_i=\sum _{i=1}^{k-1}{a}_i+a_k$$
所以，我们可以得到前缀和数组
$$s_i=\{\begin{array}{ll}{a}_1& \text{if }i=1\\ s_{i-1}+a_i& \text{if }i>1\end{array}$$
那么，对于每一个询问
$$\sum _{i=l}^r{a}_i=s_r-s_{l-1}$$

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数据结构参数

• 时间复杂度：$\Theta (n+q)$
• 空间复杂度：$\Theta (n)$

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实现代码

• 暴力
  不放了
• 前缀和

for (int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i];
for (int i=1;i<=n;i++)
	s[i]=s[i-1]+a[i];
for (int i=1;i<=q;i++){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	cout<<s[r]-s[l-1]<<'\n';
}

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练习

• 洛谷 B3612 求区间和
• 洛谷 P1444 非常男女
• 洛谷 P9533 区间翻转区间异或和