动态规划专项---数字三角形模型

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文章目录 

• 摘花生
• 最低通行费
• 方格取数
• 传纸条

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一、摘花生OJ链接

        本题思路:本题是dp问题中比较简单的模型,dp问题考虑方式：状态表示:集合：定义f[i][j]为从(1, 1)到达(i, j)的所有方案，属性：最大值。状态转移:(i, j)从(i-1, j)即上方过来,(i, j)从(i, j-1)即左方过来。当然这一题也可以进行空间压缩的方式求解。f[i][j]只需要用到这一层和上一层的f元素，所以可以压缩成滚动数组。在此之上，还可以直接压缩成一维数组。

#include 

constexpr int N=110;

int r,c;
int g[N][N];
int f[N][N];//表示所有从(1,1)走到(i,j)的路线的集合，该集合的属性为最大值

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);
    
    int T;
    std::cin>>T;
    while(T--){
        std::cin>>r>>c;
        for(int i=1;i<=r;i++)
            for(int j=1;j<=c;j++)
                std::cin>>g[i][j];
        
        for(int i=1;i<=r;i++)
            for(int j=1;j<=c;j++)//状态计算分为两种第一种是最后一步是从上面来的，第二种是从左边过来的。
                f[i][j]=std::max(f[i-1][j],f[i][j-1])+g[i][j];
        std::cout<

二、最低通行费OJ链接

        本题思路:本题与上题一样的思路，要在2*N-1的时间内走完说明不能往回走。然后只需要注意边界条件即可。

#include 

constexpr int N=110;

int n;
int g[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);
    
    std::cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            std::cin>>g[i][j];
    
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[1][1]=g[1][1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=std::min(f[i][j],f[i-1][j]+g[i][j]);
            f[i][j]=std::min(f[i][j],f[i][j-1]+g[i][j]);
        }
    std::cout<

三、方格取数OJ链接

        本题思路:本题中是走两次，那么状态表示:f[i1,j1,i2,j2]表示所有从(1,1),(1,1)分别走到(i1,j1),(i2,j2)的路径的最大值。由于走两次可以看成是两条路径同时走，因此k表示两条路线当前走到的各自的横纵坐标之和k == i1 + j1 == i2 + j2，注意：只有在i1 + j1 == i2 + j2时，两条路径走到的当前格子才可能重合。这里可以优化将四维状态优化成三维。

#include 

constexpr int N=15;

int n;
int g[N][N];
int f[N*2][N][N];//思维状态优化成三维,利用横枞坐标的和来解决

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);
    
    std::cin>>n;
    int a,b,c;
    while(std::cin>>a>>b>>c,a||b||c) g[a][b]=c;
    
    for(int k=2;k<=2*n;k++)
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
            for(int i2=1;i2<=n;i2++){
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n){//边界条件
                    int t=g[i1][j1];
                    if(i1!=i2) t+=g[i2][j2];//说明此时两个点没有重合
                     int& x=f[k][i1][i2];
                     x=std::max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);//下 下
                     x=std::max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);//下 右
                     x=std::max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);//右 下
                     x=std::max(x,f[k-1][i1][i2]+t);//右 右
                }
            }
    std::cout<

四、传纸条OJ链接

        本题思路:本题与上面的方格取数是一样的题目。

#include 

constexpr int N=55;

int m,n;
int g[N][N];
int f[N*2][N][N];//思维状态优化成三维,利用横枞坐标的和来解决

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);
    
    std::cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            std::cin>>g[i][j];
            
    for(int k=2;k<=m+n;k++)
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
            for(int i2=1;i2<=n;i2++){
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=m&&j2>=1&&j2<=m){//边界条件
                    int t=g[i1][j1];
                    if(i1!=i2) t+=g[i2][j2];//说明此时两个点没有重合
                     int& x=f[k][i1][i2];
                     x=std::max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);//下 下
                     x=std::max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);//下 右
                     x=std::max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);//右 下
                     x=std::max(x,f[k-1][i1][i2]+t);//右 右
                }
            }
    std::cout<