蓝桥杯青少年创意编程大赛题解：循环嵌套

题目描述

循环以及循环的嵌套，是同学们编写程序时常见的操作，如果用一对括号来代表一个循环的话那么三个循环出现的合法组合有 $5$ 种，分别为∶ “{}{}{}”、"{{{}}}"、"{{}{}}"、"{{}}{}"、"{}{{}}"。

输入格式

输入一个数字 $n(1\le n\le 30)$代表循环的个数。

输出格式

输出 $n$ 个循环的合法组合数。

样例输入

3

样例输出

5

算法思想（Catalan数列）

根据题目描述求循环嵌套中括号的合法组合，这是一个典型的Catalan数列求值问题，公式推导可以参考我的另一篇题解：满足条件的01序列。因此因此，可以套用公式直接计算，通项公式为：

$$Catalan(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$$

代码实现

#include 
using namespace std;

const int N = 65;
long long f[N][N];

//杨辉三角计算组合数
void init(int n)
{
	//初始状态
    for(int i = 0; i <= n; i ++) 
    {
        f[i][0] = 1, f[i][i] = 1;
    }    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j < i; j ++)
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j];    
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int m = 2 * n;
	init(m); //预处理组合数
	//卡塔兰数列求值C(2n, n) / (n + 1)
    cout << f[m][n] / (n + 1) << endl;
    return 0;
}