定积分应用——求旋转体体积

使用微元法和套筒法求旋转体体积

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如题：

在这里求区域D的步骤略，设出交点，两个方程两个未知数，求出即可
局域D如下：

第一问用微元法：
1、取微元，范围高从y到y+dy，宽为两个函数之间，如下图蓝色阴影部分

2、用公式：底面积X高，让2中的微元绕x=1转一圈，形成图形如下图(抽象从坐标轴上面俯视)

图中圆环的面积就是底面积(π(1-lny)^2-π(1-y/e)^2)，高就是前面设出的dy，dy是从0到e，得旋转体定积分：

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第二问用套筒法：
第一步去微元与第一问一样，不再赘述
2、用公式：侧面积X厚度，如下图（想象从x轴的左侧或右侧看这个旋转体）

可以把侧面积看做是一个矩形，宽可以看做是图中小矩形的周长，长可以看做是两个函数的差(y/e-lny)；厚度是前面设出的dy。得旋转体定积分：

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哈，复习考研的路也不是很无聊，至少有数学的陪伴~