2.4 分块矩阵（第2章矩阵代数）

主要内容

本节引入了分块矩阵的概念，讲解了分块矩阵的乘法运算（将子矩阵当作数处理），并由此引出了看待矩阵乘法的另一种观点（左边矩阵的列乘以右边矩阵的行），最后讲解了分块矩阵的逆矩阵是如何运算的。

分块矩阵的概念

之前，我们尝试过把矩阵看作一个数的矩形表，也可以把矩阵看作一组列向量，现在可以尝试以另一种新的角度来看待矩阵，也就是用水平线和垂直线将它分割成几块，如下图的矩阵$A$。 以这种观点来看矩阵，可以使得矩阵许多本质的结构显露出来。
$$A=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccccc}3& 0& -1& 5& 9& -2\\ -5& 2& 4& 0& -3& 1\\ -8& -6& 3& 1& 7& -4\end{array}\end{array}\right]$$
上述矩阵$A$也可写成$2\times 3$分块矩阵：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A13\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\end{array}\right]$$
的形状，它的元素是分块（或子矩阵）：
$A_{11}=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -1\\ -5& 2& 4\end{array}\right]$，$A_{12}=\left[\begin{array}{cc}5& 9\\ 0& -3\end{array}\right]$，$A_{13}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]$
$A_{21}=\left[\begin{array}{ccc}-8& 6& 3\end{array}\right]$，$A_{22}=\left[\begin{array}{cc}1& 7\end{array}\right]$，$A_{23}=\left[\begin{array}{c}-4\end{array}\right]$

例：

若一个微型计算机电路板主要由3块超大规模的集成电路芯片组成，那么该电路板的矩阵可以写成一般形式：
$$A=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\end{array}\right]$$
$A$的对角线上的子矩阵（即$A_{11}$，$A_{22}$和$A_{33}$）是有关三块超大规模集成电路本身的矩阵，而其他子矩阵则与这三块芯片之间的相互联系有关。

分块矩阵的乘法

分块矩阵也可用通常的行列法则进行乘法运算，就如每一块都是数一样，只要对于乘积$AB$，$A$的列的分法与$B$的行的分法一致。

例：

设
$$A=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}2& -3& 1& 0& -4\\ 1& 5& -2& 3& 1\\ 0& -4& -2& 7& -1\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]$$，
$$B=\left[\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& 1\\ -3& 7\\ -1& 3\\ 5& 2\end{array}\right]$$
$A$的5列被分成3列一组和2列一组。$B$的5行按同样方法分块——被分成3行一组和2列一组。我们称$A$和$B$的分块是与分块乘法相一致的。$AB$的乘积可以被写成：
$$AB=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_{11}{B}_1+A_{12}{B}_2\\ A_{21}{B}_1+A_{22}{B}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5& 4\\ -6& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$$

之前，我们已经学习过，从不同的角度去看待矩阵的乘积$AB$。例如：

• 使用$A$的列来给出$A\mathbf{x}$的定义；
• $AB$的列的定义
• 计算$AB$的行列法则
• $A$的行与矩阵$B$的乘积作为$AB$的行

从上述矩阵相乘的行列法则，可以给出两个矩阵乘积的最一般观点。试想，将$A$切成若干个只有一列的子矩阵，将$B$切割成只有一行的若干子矩阵，那么根据分块矩阵的运算法则，可以得出矩阵乘积的一般性规律。
例：

设$A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 2\\ 1& -4& 5\end{array}\right]$和$B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]$，验证：
$$AB=co{l}_1(A)ro{w}_1(B)+co{l}_2(A)ro{w}_2(B)+co{l}_3(A)ro{w}_3(B)$$

解：

由计算矩阵乘积的行列法则，有：
$$co{l}_1(A)ro{w}_1(B)=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3a& -3b\\ a& b\end{array}\right]$$
$$co{l}_2(A)ro{w}_2(B)=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}c& d\\ -4c& -4d\end{array}\right]$$
$$co{l}_3(A)ro{w}_3(B)=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2e& 2f\\ 5e& 5f\end{array}\right]$$
于是，
$$\sum _{k=1}^{3}co{l}_k(A)ro{w}_k(B)=\left[\begin{array}{cc}-3a+c+2e& -3b+d+2f\\ a-4c+5e& b-4d+5f\end{array}\right]$$
这个矩阵恰好就是$AB$。

定理：

若$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times p$矩阵，则：
$$\begin{array}{rl}AB& =\left[\begin{array}{cccc}co{l}_1(A)& co{l}_2(A)& ...& co{l}_n(A)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}ro{w}_1(B)& ro{w}_2(B)& ...& ro{w}_n(B)\end{array}\right]\\ & =co{l}_1(A)ro{w}_1(B)+...+co{l}_n(A)ro{w}_n(B)\end{array}$$

证：

对每个行指标$i$和列指标$j$，乘积$co{l}_k(A)ro{w}_k(B)$的$(i,j)$元素是$co{l}_k(A)$中元素$a_{ik}$与$ro{w}_k(B)$中元素$b_{kj}$的积，因此，$(i,j)$元素为：
$$a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+...+a_{in}{b}_{nj}$$
根据行列法则，该和恰好是$AB$的$(i,j)$元素。

分块矩阵的逆

例：

形如$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right]$的矩阵称为分块上三角矩阵。设$A_{11}$是$p\times p$矩阵，$A_{22}$是$q\times q$矩阵，且$A$为可逆矩阵。求$A^{-1}$的表达式。

解：

用$B$表示$A^{-1}$且把它分块，使得：
$$\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_p& 0\\ 0& {\mathbf{I}}_q\end{array}\right]$$
根据矩阵计算法则，可得如下四个等式：
$$\begin{array}{rl}{A}_{11}{B}_{11}+A_{12}{B}_{21}& ={\mathbf{I}}_p\\ A_{11}{B}_{12}+A_{12}{B}_{22}& =0\\ A_{22}{B}_{21}& =0\\ A_{22}{B}_{22}& ={\mathbf{I}}_q\end{array}$$
（1）由于$A_{22}$是方阵，且$A_{22}{B}_{22}={\mathbf{I}}_q$，根据可逆矩阵定理，可以断定$A_{22}$可逆且$B_{22}=A_{22}^{-1}$
（2）由于$A_{22}$可逆，那么方程$A_{22}{B}_{21}=0$两边同时乘以$A_{22}^{-1}$，可得：$B_{21}=A_{22}^{-1}0=0$
（3）因此，上述第一个式子$A_{11}{B}_{11}+A_{12}B12={\mathbf{I}}_p$可化简为：$A_{11}{B}_{11}+0=0$，由于$A_{11}$是方阵，这说明$A_{11}$是可逆的，且$B_{11}=A_{11}^{-1}$
（4）将$B_{22}=A_{22}^{-1}$代入到上述第二个式子$A_{11}{B}_{12}+A_{12}{B}_{22}=0$，可以得到：$B_{12}=-A_{11}^{-1}{A}_{12}{A}_{22}^{-1}$
综上，
$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}^{-1}& -A_{11}^{-1}{A}_{12}{A}_{22}^{-1}\\ 0& A_{22}^{-1}\end{array}\right]$$

分块对角矩阵是一个分块矩阵，除了主对角线上各分块外，其余全是零分块。这样的一个矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的。