第二讲 数列极限

极限，从通俗直观的意义上讲，是一个无限趋近的过程
数列极限证明“三部曲”：证明

1. 写出距离
2. 反解出
3. 取

用定义证明
第一步，写距离：，(不妨设)
第二步，反推n，，因为，所以得
第三步，取
故，，当时就有，都有，所以

这一讲涉及5个考点

第一个考点

用数列极限的定义来解决求极限或证明极限存在的问题，即定义法解决数列极限问题
ε-N语言：，当时，恒有

证明：若，则
由数列极限得：
又有不等式
所以
证毕.
结论：
1，此题结论反之不成立(反例：)
2，如果A=0，那么所以，

， 使用夹逼准则证明数列极限()的时候，需要找到，然后证明，但是当A=0的时候，由上面的结论，可以直接把夹逼准则写成，从而只需要计算数列的极限

数列收敛与子数列收敛的关系：
定理：若数列{}收敛，则其任何子数列{}也收敛且

判断数列发散：由上面的定理可以推知判断数列发散的方法，对于一个数列，如果存在一个子数列是发散的，那么原数列也是发散的；如果能找到两个收敛的子数列，但他们收敛到不同的极限，那么原数列也是发散的。

例题：
证明数列{}极限不存在
分析数列:
取原数列的偶数项为子数列，则，这个子数列是发散的，所以原数列也是发散的
证毕.

第二个考点

用数列极限的性质来解决数列极限问题
数列收敛的性质：

数列极限的保号性是说，如果数列存在一个极限，如果这个极限值大于0（或者小于0），则存在正整数N，当n>N时，有，
也称之为脱帽法：
根据这个性质可以得到一个推论：
如果数列{}从某项开始有，且，则
也称之为戴帽法：

第三个考点

用运算规则来解决数列极限问题
极限的运算法则，若则，


若，则

例题：
，计算

第四个考点

用夹逼准则来解决数列极限问题()
夹逼准则：如果数列{}，{}以及{}满足，1.，2.，则
需要注意的是，之间的等号关系不必满足等号关系

例题：()
求极限

第五个考点

用单调有界准则来解决数列极限问题()
单调有界数列必有极限
单调：或者（同号的情况下）
有界：或者

例题：
()
设数列{}满足，证明极限存在并求其值
由其递推式可以发现，

故{}有下界

故{}单调递减
故数列{}存在极限值，设则



由数列极限的保号性可得，故

设数列{}满足，证明存在，并求出这个值



假设
则
所以

故数列{}单调递减有下界，所以极限存在记为A，则

有函数图像可知A=0
故

直接计算法
当涉及二阶递推式的时候，需要灵活运用恒等变形然后再做计算

例题：
设数列{}满足
(1)证明
先变形：




令{}=
则数列{}是一个首项为1，公比为的等比数列
所以
(2)求