核—幂零分解

若向量空间$\mathcal{V}$存在子空间$\mathcal{X}$与$\mathcal{Y}$，当
$$\begin{gathered} \mathcal{X}\text{+}\mathcal{Y}\text{=}\mathcal{V} \\ \mathcal{X}\cap \mathcal{Y}=0 \end{gathered}$$
时称子空间$\mathcal{X}$与$\mathcal{Y}$是完备的，其中记为$\mathcal{X}\oplus \mathcal{Y}=\mathcal{V}$

若存在$\mathcal{X}\oplus \mathcal{Y}=\mathcal{V}$， 对于$x\in \mathcal{X},y\in \mathcal{Y},v\in \mathcal{V}$，满足$v=x+y$，则向量$x$被称为向量$v$沿着$\mathcal{Y}$到$\mathcal{X}$ 空间的投影，向量$y$被称为向量$v$沿着$\mathcal{X}$到$\mathcal{Y}$ 空间的投影，若存在$Pv=x$，$P$被称为沿着$\mathcal{Y}$到$\mathcal{X}$ 空间的投影算子，其中

• $P^2=P$
• $1-P$沿着$\mathcal{X}$到$\mathcal{Y}$ 空间的投影算子
• $R(P)=N(1-P)=\mathcal{X}$
• $N(P)=R(1-P)=\mathcal{Y}$

若$V={\mathfrak{R}}^n$，则$P[\mathbf{X}|\mathbf{Y}]=[\mathbf{X}|0]$，即$P=[\mathbf{X}|0][\mathbf{X}|\mathbf{Y}{]}^{-1}=[\mathbf{X}|0]\left(\begin{array}{cc}\mathbf{I}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)[\mathbf{X}|\mathbf{Y}{]}^{-1}$，其中$\mathbf{X},\mathbf{Y}$分别表示$\mathcal{X},\mathcal{Y}$的一组基

值域零空间分解

若存在一个k，满足$\text{rank}(A^k)=\text{rank}(A^{k+1})$，则将最小的那个k值称为index，其中非奇异矩阵的index为0

对于奇异矩阵$A_{n\times n}$，存在一个index k，使得$R(A^k)\oplus N(A^k)=\mathfrak R^n $

若存在一个矩阵$A^k=0$，其中index(A)=0，则矩阵A被称为幂零矩阵

核—幂零分解

如果A是一个$n\times n$ 的index为k的奇异矩阵，其中$\text{rank}(A^k)=r$，则存在一个非奇异矩阵$Q$， 满足
$${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=(\begin{array}{cc}{\mathbf{C}}_{r\times r}& 0\\ 0& \mathbf{N}\end{array})$$
其中$C$是非奇异矩阵，$N$是index为k的幂零矩阵，其中$Q$为矩阵$A^k$的值域空间和零空间的基的组合

若存在$\mathbf{A}=\mathbf{Q}(\begin{array}{ll}\mathbf{C}& 0\\ 0& \mathbf{N}\end{array}){\mathbf{Q}}^{-1}$,则${\mathbf{A}}^D=\mathbf{Q}(\begin{array}{ll}{\mathbf{C}}^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}){\mathbf{Q}}^{-1}$,其中$A^D$被称为A的广义逆

对于矩阵 A = ( − 2 0 − 4 4 2 4 3 2 2 ) \left.\textbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&-4\\4&2&4\\3&2&2\end{array}\right.\right) A= ​−243​022​−442​ ​，计算出 core-nilpoten 的分解形式，并给出对应的 Drazin 逆的形式。

直接计算可得$:rank(\mathbf{A})=2,rank({\mathbf{A}}^2)=1,rank({\mathbf{A}}^3)=1$, 由此可知$:index(\mathbf{A})=2.$ 由 core-nilpotent 分解可知，矩阵 $\mathbf{Q}=[\mathbf{X}|\mathbf{Y}]$, 这里 $\mathbf{X}$ 和 Y 分别为 $R({\mathbf{A}}^2)$ 和 $N({\mathbf{A}}^2)$ 的一组基。从而直接计算可得，
X = ( − 8 12 8 ) , Y = ( − 1 0 1 0 0 1 ) , \left.\mathbf{X}=\left(\begin{array}{rr}-8\\12\\8\end{array}\right.\right),\quad\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{rr}-1&0\\1&0\\0&1\end{array}\right), X= ​−8128​ ​,Y= ​−110​001​ ​,
可得
Q = ( − 8 − 1 0 12 1 0 8 0 1 ) \left.\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{rrr}-8&-1&0\\12&1&0\\8&0&1\end{array}\right.\right) Q= ​−8128​−110​001​ ​
所以
Q − 1 A Q = ( 1 4 1 4 0 − 3 − 2 0 − 2 − 2 1 ) ( − 2 0 − 4 4 2 4 3 2 2 ) ( − 8 − 1 0 12 1 0 8 0 1 ) = ( 2 0 0 0 − 2 4 0 − 1 2 ) \left.\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\-3&-2&0\\-2&-2&1\end{array}\right.\right)\left(\begin{array}{rrr}-2&0&-4\\4&2&4\\3&2&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}-8&-1&0\\12&1&0\\8&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&-2&4\\0&-1&2\end{array}\right) Q−1AQ= ​41​−3−2​41​−2−2​001​ ​ ​−243​022​−442​ ​ ​−8128​−110​001​ ​= ​200​0−2−1​042​ ​
因为${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=(\begin{array}{ll}\mathbf{C}& 0\\ 0& \mathbf{N}\end{array}),\mathbf{C}=(2),\mathbf{N}=(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 2\end{array})$

所以