矩阵的模和内积

模和内积

向量

设存在一个向量$X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n{\}}^T$

P范数
$$||X|{|}_P=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{|x_i|}^p}$$
1范数（曼哈顿距离）
$$||X|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$
2范数（欧式距离）
$$||X||=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x_i}^2}$$
同时2范数记为向量的模，即$||X||$

正无穷范数
$$||X|{|}_{+\infty }=\max (|x_i|)$$
负无穷范数
$$||X|{|}_{-\infty }=\min (x_i)$$
内积

设存在两个向量$X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n{\}}^T,Y=\{y_1,y_2,y_3\dots y_n{\}}^T$，则向量$X,Y$的内积记为$<X,Y>=X^{T}Y$

其中$<X,aY>=a<X,Y>,<X,Y+Z>=<X,Y>+<X,Z>$

矩阵

设存在一个矩阵$A$
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ] A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots& a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm} \end{bmatrix} A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1m​a2m​⋮anm​​ ​

F范数
$$||A|{|}_F=\sqrt{\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{|a_{ij}|}^2}$$
1范数（曼哈顿距离）
$$||A|{|}_1=\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$$
2范数（欧式距离）
$$\begin{array}{rl}||A|{|}_2& =\sqrt{{\lambda }_{max}}\\ ||A^{-1}|{|}_2& =\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_{min}}}\end{array}$$
其中${\lambda }_{max}$为矩阵$A^{T}A$的最大的特征值

无穷范数
$$||A|{|}_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _{j=1}^m(|a_{ij}|)$$
内积

设存在两个矩阵$A_{nm},B_{nt}$，则矩阵$A，B$的内积记为$<A,B>=A^{T}B$

满足以下条件的集合称为正交集
$$⟨{\mathbf{u}}_i|{\mathbf{u}}_j⟩=\{\begin{array}{cc}1& \text{when }i=j,\\ 0& \text{when }i\ne j.\end{array}$$
其中来自n维空间含有n个向量的正交集一定是该n纬空间的基，正交集一定是线性无关的

傅里叶表示

若$\mathcal{B}=\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\dots ,{\mathbf{u}}_n\}$是内积空间$V$ 的一个正交基，对每一个$x$都可以表示为
$$\mathbf{x}=⟨{\mathbf{u}}_1|\mathbf{x}⟩{\mathbf{u}}_1+⟨{\mathbf{u}}_2|\mathbf{x}⟩{\mathbf{u}}_2+\cdots +⟨{\mathbf{u}}_n|\mathbf{x}⟩{\mathbf{u}}_n.$$
这被称为$X$的傅里叶表示，其${\xi }_i=⟨{\mathbf{u}}_i|\mathbf{x}⟩$被称为$X$ 在$\mathfrak{B}$下的坐标，他们是傅立叶系数