Optimization Landscape and Expressivity of DeepCNNs

Nguyen Q C, Hein M. Optimization Landscape and Expressivity of Deep CNNs[J]. arXiv: Learning, 2017.

BibTex

@article{nguyen2017optimization,
title={Optimization Landscape and Expressivity of Deep CNNs},
author={Nguyen, Quynh C and Hein, Matthias},
journal={arXiv: Learning},
year={2017}}

引

这篇文章，主要证明，在某些不算很强的假设下，CNN的最后的损失(文中是MSE)能够达到零，而且能够满足其的网络参数的无穷多的. 另外，还有"局部"最优解都是全局最优解的特性. 证明主要用到了勒贝格积分的知识(实际上，这一部分应该算在另一篇论文上，没去看），以及更多的代数的知识.

主要内容

基本的一些定义

为输入的N个样本，而为对应的N个标签.

假设网络共有层，为第层的宽度，也即神经元的个数. 用表示由样本到第层的输出的映射.

patches: 我们将每一层的神经元分成若干份，每一份的长度相同，且是包含所有神经元，并且没有俩个patch是完全相同的. 假设，每一层被分成份，长度为. 则，可以表示为

filter: 假设每一层有个filters，则 . 容易知道, 并假设第k层的偏执为. 如果是全连接层，很明显，.

激活函数: 用表示第层的激活函数, entry-wise.

卷积层

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其中.

上面的定义可以这么理解，先拿出第一个patch，用所有的filters操作一遍，并加上偏置，再通过激活函数为最后的输出，然后再拿下一个patch... 一般的卷积层，其实就是相当先分patch，再利用卷积核处理，当然这里可能存在一个排序的问题，但是作者证明的结论的过程中不需要排序.

全连接层

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池化层

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改写卷积层

为了更形象的表示，作者弄了一个线性映射. 看如下的例子:

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其中:

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, 也就是说，输入是5维的向量，卷积核是3维的，滑动为1. 相当于把扩充至，且只有所作用的patch的对应位置不为0. 这样就能用一种全连接层的是视角去看待了，而全连接层的. 所以，我们不需要再管patch了，来了一个输入，只需，然后进行加偏执和激活函数的操作即可，具体如下:

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其中. 定义:

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则:

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定义损失函数:

假设2.4

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对于第k个卷积层，存在使得是满秩的. 并且从下面的话中可以发现，只要patches满足之前讲的那些假设，那么这个假设便能够成立. 问题是，我不知道这个假设如何证明.

引理2.5

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引理2.5告诉我们，让满秩的不仅存在，而且很多，多到让不满秩的的勒贝格测度为0. 也就是随便走两步都能满足假设.

假设3.1

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这个假设看似很强，但是作者指出，可以通过对样本添加一个噪声来满足.

假设3.2

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激活函数是连续非常数，且有一些极限性质.

引理3.3

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ReLU, Sigmoid, Softplus等一些常见的激活函数都是满足上面的假设的.

定理3.4

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注意, 条件1是第一层和第k层为卷积或者全连接层. 满足这些条件，则有线性独立，也即满秩.

定理3.5

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注意，这里的条件1是第一层到第k层均为全连接层或卷积层. 则令不满秩的网络参数的勒贝格测度为0，也就是说，满秩是平凡的.

推论3.6

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也就是说，我们能够找到网络参数，满足训练0误差.

假设4.1

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注意，这里假设整个网络不包括池化层，且最后的输出层是全连接层.

并定义:

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引理4.2

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关于解析函数，这是复变函数里的东西，不同的版本有出入，

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至少是无穷次可导的, 所以ReLU自然不列入考虑范围之内.

引理4.2说明满秩是很容易满足的.

引理4.3

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定理4.4

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定理4.4告诉我们，中的所有的驻点(关于)都是最小值点.

定理4.5

作者考虑一个具体的分类问题，则CNN最后的输出应该为，即有m类，如果样本属于第j类，则的第i行为的第j行. 所以，一般情况下，为单位矩阵？

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注意第层为全连接层.

Proof

引理A.1

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实解析函数，如果不恒为0，则的勒贝格测度为0， 也就是几乎处处不为0呗.

引理2.5 证明

, 因为是一个线性映射，所以的每一个元素都是的一个线性函数的像. 又的每一个行列式是一个多项式函数，所以是解析函数，而解析函数的复合依旧是解析函数，所以每一个行列式都是关于的一个解析函数. 而根据假设2.4，我们知道，存在一行列式不恒等于0，所以根据引理A.1， 引理2.5可得.

引理3.3

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定理3.4

引理D.1

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就是，我们能找到一些网络参数，使得不同的样本的各元素不同.

证明： 这个证明可以通过归纳法证明，只要我们找到使得成立，后面的结果也就可类似推导成立了. 且因为全连接层是卷积层的一个特例，所以只需证明是卷积层的时候成立即可.

用表示，其中每一列都是一个filters. 定义:

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显然，属于的元素，要么使得不满秩，要么使得有俩个元素相同，则其补集一定满足引理D.1的结论. 所以我们只要证明这个补集不是空集即可.

根据假设3.1，, 所以是一个超平面，显然，其测度为0，而有限个这样的超平面的并依旧是零测集， 所以的后半部分的测度为0. 而前半部分，根据引理2.5可知，其测度也为0，所以的测度也为0.

如果，我们证明穿过激活函数依旧保持那些性质的话，关于卷积层和全连接层的证明就结束了.

既然是个连续的非常数函数，那么存在一个区间使得在其上存在双射（这个存疑，不是有一个处处连续但处处不可导的函数吗，那个也能满足？）.

我们先固定, 令. 并令 以及

既然, 我们只需要选择足够小的, 就能满足.

对于任意的,

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对于任意的 以及足够小的(注意，因为对于足够小的, 单调，所以若为0，则需要原像相同，而这由的选择保证不可能).
于是:

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实际上，结果还要更加强一些.

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最后只要再证明对池化层也成立即可.

假设对前层都成立，第层为池化层. 于是, 且对于:

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既然(8)成立，所以, 自然，其最大值也不同，即

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所以，结论对于池化层也成立.

定理3.4的证明, 仅说明其证明思路. 根据引理D.1，我们可以找到网络参数，使得第层满足:. 所以，接下来，只要找到使得最后的满秩就可以了.

先定义以及:

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和引理D.1的证明类似，的测度为0，的列可以取到，并且满足满秩（因为满秩的集合测度不为0）.

既然激活函数连续非常数，一定存在. 则定义和偏执, 且有:

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相应的，有

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我们可以调整的顺序，使得下列式子满足:

接下来，根据对激活函数的假设(假设3.2)，可以分成俩种情况来证明:

首先是

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不妨设, 则

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所以收敛到最后是一个上三角矩阵. 再看一般的的前N行N列(我们只要证明这个行列不为0，则就满秩).

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这个分解，就是最开始的行列式的定义，取不同行不同列的乘积的和(还有相应的符号). 易知:

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对于, 就是的序. 所以.

既然行列式关于的连续函数，一定存在足够小的使得行列式不为0，即满秩, 这样，就找到了. 的证明是类似的.

另一种情况是:

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其证明也是类似的，只是取充分大的.

定理3.5

定理3.5的条件更强，能够保证是关于的一个解析函数，那么的的子矩阵的行列式也为解析函数，既然我们以及找到了这样的使得某个子矩阵的行列式不为0，根据引理A.1可知，令不满秩的的参数的集合的测度为0.

推论3.6

既然，我们能够找到参数使得, 我们的任务就是找一个使得, 显然

满足这个条件.

引理4.2

显然:

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其中表全集.

后面的第一部分根据定理3.5可知测度为0，第二部分根据引理2.5可知测度亦为0，所以后面的部分测度为0. 所以的测度自然也为0.

引理4.3

首先，介绍一下 Hadamard product (阿达玛积), ,

即矩阵对应元素相乘，当然这要求行列相同. 阿达玛积满足交换律，结合律:

另外, 是显然的，以及

再证明引理4.3之前，我们需要先推导出损失函数与的梯度关系，我们先整理一下:
损失函数:

第层为全连接层，所以:

定义, 其中的(i, j)元素为.

所以:

类似可证明:

再引入俩个引理，比较简单便不给出证明了.

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我们已经知道, 并用 表示克罗内克积, 有

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故

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上界的证明是类似的，

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定理4.5

定理4.5前半部分的证明，既然第k+1层为全连接层，对于驻点，我们有， 再根据定理4.4即可证明.

后半部分的证明，首先，我们证明我们能够找到使得的秩为, 且对应相同标签的样本，比如样本i, j对应同一个标签，那么的第i,j行是相同的. 在k+1层之前，我们可以找到使得.

Case1:k=L-1

那么, 直接令就能使得, 且满秩.

Case2: k=L-2
那么, 令为行满秩矩阵，且. 再定义, 并且

如果第i个样本的标签为j. 表示的第i行.
只需要令, 于是

其中令.
接着，我们只需要令

便能得到.
注意，并非满秩的.

Case 3:

类似的，取, 且的元素无一相同, .
定义:

如果样本i标签为j.

构建

取, 则, 于是我们的目的也达到了.

此时，把到看成一个新的网络，我们相当于输入个样本，我们只要构建使得, 根据Case 1可知，只要在第L-1层保持满秩即可.

首先，因为的各元素都不同，所以的各元素亦不同，这就满足了假设3.1;
其次，到都是卷积层和全连接层；
第L-1层的宽度大于样本个数m，这个来源于假设4.1的金字塔型的结构；
激活函数满足假设3.2.

所以，根据定理3.4，我们可以知道，存在能够使得L-1层满秩，而且这样的参数是很多很多的.

最后选择即可. .