[算法学习笔记](超全)概率与期望

引子

先来讲个故事······

话说在神奇的OI大陆上，有一只paper mouse

有一天，它去商场购物，正好是11.11，商店有活动

它很荣幸被选上给1832抽奖

在抽奖箱里，有3个篮蓝球，12个红球

paper mouse能抽3次

蒟蒻的paper mouse就疑惑了:抽到至少1个篮蓝球的概率是多少？？？

Answer:

总共有15个球

只抽到1个篮蓝球的概率是0.435165（很好理解吧，在4个篮蓝球里取一个，再在11个红球里面取3个，总共是在15个里面取4个）

抽到2个篮蓝球的概率是0.079121

抽到3个篮蓝球的概率是0.002198

所以总概率就是三者之和，即0.435165+0.079121+0.002198=0.516484

我们也可以反过来分析：如果paper mouse运气爆棚，一个篮蓝球都没有抽到

那么其对立事件就一定会有至少一个篮蓝球

所以概率就是:1-1-0.483516=0.516484

也就是说，paper mouse有接近的概率给心爱的1832送上礼物······

概率

概率就是随机事件出现的可能性大小

For example，上面的故事里就涉及到概率

若某种事件重复了N次，其中A事件出现了M次，出现A事件的概率就是

同时，，用表示

即：

1.1 条件概率与全概率

条件概率公式：

如果事件A发生的概率为P(A)，事件B单独发生的概率为P(b)

若B必须在A发生之后发生，则B发生的概率就是条件概率，P(B)=P(A|b)=

（是不是还比较好理解？真正shit的才刚刚开始）

全概率公式：

如果事件 B1, B2,⋯, Bn 构成一个完整的样本空间，且两两互斥，P(Bi) > 0。 则对于任意事件 A 有：，这就是全概率公式

思想就是：P(A)不是很好求，但是把P(A)拆开计算P(A|Bi)P(Bi)就相对好算一些

举个例子：

paper mouse去表白1832了
他每次写情书，1832都有0.5的概率看见
而第一次看见，1832有0.2的概率同意他
第二次看见时，1832有0.5的概率同意他
第三次看见时，1832一定会同意他的请求 

求paper mouse获得1832爱情的概率

通过全概率公式：

事件A是paper mouse陷入爱河

事件集合B是：B={}，表示paper mouse表白了i次

            

           

            

所以paper mouse表白成功的概率高达0.3！（喜）

期望

炸裂的东西来了

先看看期望的定义

1.1 期望定义

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随 机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量的一切可能的取值 Xi 与对应的概率 P(Xi) 乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望，记为 E(X) ，简称期望。

怎么样？是不是蛮有意思的？

换一种通俗但不精确的方式阐述一下（涉及下定义内容，非xxs请谨慎观看）：

期望就是    某件事发生的概率集合中的每一个数    对其对应值的乘积    的和

一个普通骰子，众所周知有六面，对应1~6

每一面转到的概率就是 ，所以：

            

            

所以也可以这么说：

数学期望可以理解为某件事情大量发生之后的平均结果。

来个难点的：

设一张彩票为 2 元，每售 100000 张开奖，假每张彩票有一个对应的六位数号码，奖次如下：

• 安慰奖：奖励 4 元，中奖概率0.1
• 幸运奖：奖励 20 元，中奖概率 0.01
• 手气奖：奖励 200 元，中奖概率 0.001
• 一等奖：奖励 2000 元，中奖概率 0.0001
• 特等奖：奖励 20000 元，中奖概率 0.00001

那公司到底是亏还是赚呢？

我们来简单计算一下，对于每一位购买彩票的用户，公司可能支出为： 

所以公司期望赚0.8元

1.2 期望的线性性质

设 X, Y 是任意两个随机变量，则有

• E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
• E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ) 

证明略

再举个栗子：

同时仍一颗骰子的期望为3.5

同时扔两颗骰子的概率是3.5+3.5=7

1.3 条件期望与全期望公式

一个经典xxs的题：

A班平均分为x分，B班平均分为y分

求A、B两个班的平均分

显而易见的：A、B班的平均分不能直接(x+y)/2

而是：，其中a表示A班人数，b表示B班人数

期望也差不多。

友好的看一下全期望公式：

设 X 是一个离散型随机变量， 当 X = xi 时，随机变量 Y 可能包含多种情况 y1, y2,⋯, yk，随机变量 Y 的条件 数学期望为：

对于随机变量 X 有很多取值 x1, x2,⋯, xa，Y 有很多取值 y1, y2,⋯, yb。

全期望公式：

            

            

            

            

            

例如，一项工作由甲一个人完成，平均需要 4 小时，而乙有 0.4 的概率来帮忙，两个人完成平均只需要 3 小时。

若用 X 表示完成这项工作的人数，而 Y 表示完成的这项工作的期望时间（单位小时）

由于这项工作要么由一 个人完成， 要么由两个人完成，那么这项工作完成的期望时间

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(例题下次更新)