【北邮果园大三上】运筹学期中后

运筹学后半段

第五章 动态规划

最优化原理，可以归结为一个递推公式

现实应用：比如最优路径、资源分配、生产计划和库存等

5.1 动态规划的最优化原理及其算法

5.1.1 求解多阶段决策过程的方法

例如：最短路径问题

求A到B的最短路径：

大体思路：递归

5.1.2 动态规划的基本概念及递推公式

• 基本概念

• 最优化原理和动态规划递推关系

最优化原理：最优策略的子策略也是最优的

递推关系：

路径加和累计

连乘累计

• 动态规划的步骤

5.2 动态规划模型举例

5.2.1 资源分配问题（重点）

解

逆向开始书写：

X*：最终实际应该给多少

$$ f_3=Max(d_3+f_4) $$

结论

第六章 图与网络分析

定义：

1）图与网络

简单图：既没有自环也没有平行边的图

**‘有向图’*每条边都有方向

**‘完全图’*任意两个点都有边

​ n个顶点有 Cn 2个边

**‘网’*边或者弧带权值的图

**‘顶点的度（degree）’*与该顶点相关联的边的数目

度为0的点：孤立点

度为1的点：悬挂点

链（link）：连续的边构成的顶点序列

圈（loop）：第一个顶点和最后一个顶点相同的链

‘路径’:连续的边构成的顶点序列，且不出现重复

**‘路径长度’*路径的权值之和

**‘回路(circuit)’*第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉回路

**‘简单路径’*除了路径起点和终点相同，其余顶点都不同

**‘连通图’*对任意两个顶点都有路径

‘联通分量(极大连通子图）’:再加入一个顶点子图不再连通

平面图(planar graph)：在平面上可以画出该图而没有任何边相交

2）最小生成树

图的生成树：（重点）

​ 生成树是图的所有顶点连接在一起，但不形成回路

​ ‘深度优先生成树’:通过深度优先搜索进行遍历的生成树

​ ‘广度优先生成树’:通过广度优先搜索进行遍历的生成树

最小生成树 (各边权值和最小)

​ ‘MST性质(贪心算法)’:'U集合’是已经经过的顶点,在’U’和’U-V’选取权值最小的边,这条边一定在生成树上

​ Prim算法(选顶点)

(从a结点开始遍历，如果同时出现多个可以选择的结点时，优先把序号较小的结点加入生成树)

​ Kruskal(选择边)

(如果同时出现多个可以选择的边时，以边中序号较小的结点为第一优先，序号较大的结点为第二优先，按照升序顺序选择。假设边(a,d),(a,e),(b,c)有相同权重,选择优先顺序从大到小为(a,d),(a,e),(b,c))

最短路径（重点）

不同于最小生成树，不用包含全部的顶点

Dijkstra算法(解决到达一个点的最短路径)

步骤：

​ 1.‘初始化’:先找出原点v0到所有顶点的最短路径(v0,vk)

​ S={v0},T={其余顶点},D[i]存放距离值

​ 2.‘选择’:从这些路径中学出一条长度最短的路径(v0,u)

​ 3.‘更新’:若存在(u,vk)且路径(v0,u,vk)<(v0,vk) 用其代替

​ 4.(v0,u,vk)作为新的顶点集合,重复操作

Floyd算法(解决所有顶点的最短路径)

步骤：

​ n阶矩阵,对角线元素为0,矩阵存的为对应权值

​ 依次加入中间顶点,如果变短则修改,直到所有点增加完毕

3）网络的最大流和最小截集（重点）

• 概念：

• 网络流一般在有向图上讨论

• 定义网络上支路的容量为其最大通过能力，记为cij ，支路上的实际流量记为fij

• 满足上述条件的称为可行流，存在最大可行流
• 当支路上fij = cij ，称为饱和弧

截集与截集容量

s:开始点，t：结束点

定义：

• 截集：把网络分割为两个成分的弧的最小集合，其中一个成分包含s 点，另一个包含t 点。
• 最小截集：所有点到外部都是满载的点

福特-富克森定理：网络的最大流等于最小截集容量

确定网络最大流的标号法

• 饱和弧：fij = cij 的弧

• 非饱和弧：fij < cij 的弧

• 零流弧：fij = 0的弧

• 非零流弧：fij >0 的弧

规定链μ：的方向是从始点s到终点t

• 正向弧：

• 第一类是弧的方向与链μ的方向一致，称为前向弧（正向弧），前向弧的全体集合记为μ+；

• 反向弧：第二类是弧的方向与链μ的方向相反，称为后向弧（反向弧），后向弧的全体集合记为μ-

• 增广链：

理解：从原点可以增加多少流量到该结点

当μ满足下述条件：

即μ上的前向弧（正向弧）为非饱和弧，后向弧（反向弧）为非零流弧。

• 最大标号法步骤（重要）

第一步

第二步

例：

如Dijkstra一样，每次合并后所有结点视为一个整体（找的增广链先后顺序无所谓）

第七章 随机服务理论概述

7.1 随机服务系统

定义介绍：

• 系统的输入输出是随机变量，可以称之为排队论和拥塞理论

相关特性

7.1.1 服务机构的组织方式与服务方式

• 单台制和多台制
• 并联服务
• 串联服务
• 串并联服务、网络服务

7.1.2 输入过程与服务时间

• 顾客单个到达或成批到达
• 顾客到达时间间隔的分布和服务时间的分布
• 顾客源是有限的还是无限的

7.1.3 服务规则

• 损失制
• 等待制：先到先服务 ( FIFO)，后到先服务，随机服务，优先权服务

上述两个为重点学习内容

• 混合制
• 逐个到达，成批服务；成批到达，逐个服务

7.2 随机服务过程

• 单台服务系统、等待制、先到先服务
• 顾客在系统中的总时长：逗留时间=等待时长+服务时长
• 等待时长与顾客到达率和服务时长有关

例：

间隔到达时间：τ

等待时长：w

服务时长：h

• 当服务台连续不断服务时，有如下关系：

$$w_{i+1}+{\tau }_{i+1}=w_i+h_i$$

• wi+hi 表示了累计的未完成的服务时长，一般地有

tips：排队系统的指标及其关系

1）Wq 、Wd 分别是顾客的平均排队等待时间和平均逗留时间
2）Lq 、Ld分别是系统平均排队的顾客数和系统的平均顾客数
3） Ln 是同时接受服务的平均顾客数（即平均服务台占用数）
4） h 是顾客的平均服务时长，λ是顾客的平均到达率（即单位时间内到达的顾客数）。
5）相关公式
$$Ld=\lambda W_d=\lambda (W_q+h)=L_q+L_n$$

$$Lq=\lambda W_q$$

$$L_n=\lambda h$$

7.3 服务时间与间隔时间

7.3.1 概述

• 顾客的服务时间由于多种原因具有不确定性，最好的描述方法就是概率分布；同样顾客到达的间隔时间也具有一定的概率分布
• 服务时间和到达间隔时间服从什么分布？可以先通过统计得到经验分布，再做理论假设和检验。
• 经验分布一般采用直方图来表示，如下图

下述内容是之前概率论学过的

主要是讲述

7.3.2 常用的概率分布

• 定长分布

• 负指数分布（重点）

• 爱尔兰分部

7.3.3 负指数分布的特点

• 负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学分析变得方便： 期望等于均方差

• 无记忆性 。指的是不管一次服务已经过去了多长时间，该次服务所剩的服务时间仍服从原负指数分布

证明

• 普通型：多个独立同分布负指数分布的服务在进行，不可能有两个以上同时结束

证明

7.4 输入过程

顾客到达的分布，可用相继到达顾客的间隔时间描述，也可以用单位时间内到达的顾客数描述

• 定长输入过程：间隔时间服从定长分布

• 泊松输入过程：单位时间内到达的顾客数服从泊松分布

7.4.1 泊松输入过程及其特点

泊松分布的均值和方差均为λ ， λ也称为到达率， λt 是(0, t) 时间内顾客到达的期望值

• 平稳性 ：顾客到达数只与时间区间长度有关

• 无后效性 ：不相交的时间区间内所到达的顾客数是独立的

• 

• 有限性 ：在有限的时间区间内，到达的顾客数是有限的。

• 可叠加性：即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布（概率论）

• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布

证

7.4.2 马尔科夫链

马尔科夫链 （Markov Chain ) 又简称马氏链 ，是一种 离散事件 随机过程。
用数学式表达为：

• X n+ 1 的状态只与 X n 的状态有关，与 X n 前的状态无关，具有无记忆性或 无后效性 ，又称 马氏性
• 状态转移是一步一步发生的（从i状态转移到j状态）。令 X n = i 表示系统在时刻 t 处于状态 i 这一事件，一步状态转移概率：

7.5 生灭过程

一种描述自然界生灭现象的数学方法，如细菌的繁殖和灭亡、人口的增减、生物种群的灭种现象等

• 采用马氏链
  • 令 N t 代表系统在时刻 t 的状态，下一瞬间 t =  t 系统的状态只能转移
  • 到相邻状态，或维持不变，如图所示：数量 +1 数量 1 ，数量不变
  • 三种转移是不相容的，三者必居其一
  • 只有具有无记忆性和普通性的过程 分布 才适用马氏链
  • 令 P j(t) P{ N(t) = j }代表系统在时刻 t 处于状态 j 的概率

• 生灭过程的马氏链

推导过程了解即可

1. 首先解稳态方程组

   

2. 其次解递归解

   

• 满足生灭过程的条件

第八章 M/M/n系统

泊松输入/负指数服务时长/n个并联服务台

8.1 M/M/n损失制

增长：有新来的顾客

消亡：有顾客完成服务

8.1.1 M/M/n损失制，无限源

顾客到达率：λ（人/小时）

每个台的服务率（人/小时）：

化简：ρ=λ/μ称为业务量，表示一个平均服务一个人到几个人

• 系统的服务质量

  系统的质量用损失率来度量，两种度量方法

  

  服务台利用率

  （1-B）:完成服务率

  

• 求所需最少服务台的方法

• 爱尔兰损失表

• 服务台利用率和服务台数量的关系

例 1：

解

例 2：

解

例 3：

解

8.1.2 M/M/n损失制，有限源

顾客到达率是与系统中被服务的顾客数相关的

N:顾客总数

n：服务台个数

j：现在服务的人数

**q=γ/μ：**平均时长

• 衡量服务质量的指标：损失率

按时间计算的损失率：

按顾客到达的损失率：

不用记，考试要用会给

• 服务台利用率

例1：

解

8.2 M/M/n等待制，无限源，无限容量

8.2.1 系统稳态概率及等待概率

顾客到达率为λ

每台的服务率为μ

业务量：ρ=λ/μ

• 计算顾客进入系统必须等待的概率D

8.22 系统的各个指标

当n=1时

8.23 系统等待时间的分布概率

顾客离去的概率符合泊松分布：

tips：

做题时关注n=1，如果有，可以简化做题

例1：

例2：

第九章 存储理论

9.1 简单介绍

存储理论主要分为：

我们只关注 经典存储理论

• 术语

• 存储策略

9.2 确定性存储模型

市场的备运期和需求是已知的

9.2.1 不允许缺货模型

Cd：一次性订购费

Cs：单位时间存储费

t：订货周期

C(Q):单位时间内的可变费用

• 定量分析：

$$Q=Dt：\text{每次订购量}$$

$$平均存储量=1/2Q$$

单位时间存储费：三角形面积/t*单位时间存储费

（必考）

Q0：最佳经济订货量

C(Q0):最佳费用

t0：最佳订货周期

几点说明：

例题：

解

计算年存储费使用的是：平均存储量

9.2.2 允许缺货模型

H：最大存储量

Cq:单位缺货损失费

缺货时间：t2

例：

解

9.2.3 连续进货，不允许缺货模型

t1:零件生产期

K：零件生产率，D：零件消耗率

Cd:准备费

直接代入不缺货模型公式（3）：

9.2.4 两种存储费，不允许缺货模型

自己仓库存储量不够，租用其他仓库

9.2.5 不允许缺货，批量折扣模型

购买越多，单价越低

在区间内的价格公式：

Q0是否为最小值要与右边区间（左端点）进行比较

计算步骤：

例：

解

要计算每个区间的右端点，算出最小值C（Q0）

考试范围：