基于C#实现最长公共子序列

一、作用

最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法，作为码农，此算法是我们的必备基本功。

二、概念

举个例子，cnblogs 这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有 27 个，比如其中的 cb,cgs 等等都是其子序列，我们可以看出子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。
我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，那么大家能够看出：cnblogs 和 belong 的公共子序列吗？
在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

三、解决方案

<1> 枚举法

这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，我们可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列个数有27个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。

<2> 动态规划

既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。
第一步：先计算最长公共子序列的长度。
第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。
现有两个序列 X={x1,x2,x3，…xi}，Y={y1,y2,y3，…，yi}，设一个 C[i,j]: 保存 Xi 与 Yj 的 LCS 的长度。
递推方程为：

不知道大家看懂了没？动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的公式其实可以发现 C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度。

 using System;
 namespace ConsoleApplication2
 {
     public class Program
     {
         static int[,] martix;
 
         static string str1 = "cnblogs";
         static string str2 = "belong";
 
         static void Main(string[] args)
         {
             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
 
             LCS(str1, str2);
 
             //只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可
             Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);
 
             Console.Read();
         }
 
         static void LCS(string str1, string str2)
         {
             //初始化边界，过滤掉0的情况
             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
                 martix[i, 0] = 0;
 
             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
                 martix[0, j] = 0;
 
             //填充矩阵
             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
             {
                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
                 {
                     //相等的情况
                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
                     {
                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
                     }
                     else
                     {
                         //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];
                         else
                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];
                     }
                 }
             }
         }
     }
 }

图大家可以自己画一画，代码完全是根据上面的公式照搬过来的，长度的问题我们已经解决了，这次要解决输出最长子序列的问题，我们采用一个标记函数 Flag[i,j]，当
①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1 时 标记 Flag[i,j]=“left_up”; （左上方箭头）
②：C[i-1,j]>=C[i,j-1] 时 标记 Flag[i,j]=“left”; （左箭头）
③: C[i-1,j] 例如：我输入两个序列 X=acgbfhk，Y=cegefkh。

 using System;
 
 namespace ConsoleApplication2
 {
     public class Program
     {
         static int[,] martix;
 
         static string[,] flag;
 
         static string str1 = "acgbfhk";
 
         static string str2 = "cegefkh";
 
         static void Main(string[] args)
         {
             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
 
             flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
 
             LCS(str1, str2);
 
             //打印子序列
             SubSequence(str1.Length, str2.Length);
 
             Console.Read();
         }
 
         static void LCS(string str1, string str2)
         {
             //初始化边界，过滤掉0的情况
             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
                 martix[i, 0] = 0;
 
             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
                 martix[0, j] = 0;
 
             //填充矩阵
             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
             {
                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
                 {
                     //相等的情况
                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
                     {
                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
                         flag[i, j] = "left_up";
                     }
                     else
                     {
                         //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
                         {
                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];
                             flag[i, j] = "left";
                         }
                         else
                         {
                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];
                             flag[i, j] = "up";
                         }
                     }
                 }
             }
         }
 
         static void SubSequence(int i, int j)
         {
             if (i == 0 || j == 0)
                 return;
 
             if (flag[i, j] == "left_up")
             {
                 Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:（{1},{2}）", str2[j - 1], i - 1, j - 1);
 
                 //左前方
                 SubSequence(i - 1, j - 1);
             }
             else
             {
                 if (flag[i, j] == "up")
                 {
                     SubSequence(i, j - 1);
                 }
                 else
                 {
                     SubSequence(i - 1, j);
                 }
             }
         }
     }
 }

好，我们再输入两个字符串：

static string str1 = "abcbdab";
static string str2 = "bdcaba";

通过上面的两张图，我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。
**时间复杂度：**构建矩阵我们花费了 O(MN)的时间，回溯时我们花费了 O（M+N)的时间，两者相加最终我们花费了 O(MN)的时间。
**空间复杂度：**构建矩阵我们花费了 O(MN)的空间，标记函数也花费了 O(MN)的空间，两者相加最终我们花费了 O(MN)的空间。