动态规划—解码方法（leetcode 91）

题目描述

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：

'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26
要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，"11106" 可以映射为：

"AAJF" ，将消息分组为 (1 1 10 6)
"KJF" ，将消息分组为 (11 10 6)
注意，消息不能分组为  (1 11 06) ，因为 "06" 不能映射为 "F" ，这是由于 "6" 和 "06" 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

示例 1：

输入：s = "12"
输出：2
解释：它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。
示例 2：

输入：s = "226"
输出：3
解释：它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。
示例 3：

输入：s = "0"
输出：0
解释：没有字符映射到以 0 开头的数字。
含有 0 的有效映射是 'J' -> "10" 和 'T'-> "20" 。
由于没有字符，因此没有有效的方法对此进行解码，因为所有数字都需要映射。
示例 4：

输入：s = "06"
输出：0
解释："06" 不能映射到 "F" ，因为字符串含有前导 0（"6" 和 "06" 在映射中并不等价）。
 

提示：

1 <= s.length <= 100
s 只包含数字，并且可能包含前导零。

问题分析

1、思路
(动态规划) O(n)

给定我们一个字符串s，按照题目所给定的规则将其解码，问一个字符串可以有多少种不同的解码方式。

样例：

我们先来理解一下题目的解码规则，如样例所示，s = "226"，可以分为两种情况：

1、将每一位数字单独解码，因此可以解码成"BBF"(2 2 6)。
2、将相邻两位数字组合起来解码（组合的数字范围在10 ~ 26之间），因此可以解码成"BZ"(2 26), "VF"(22 6)。
两种情况是或的关系，互不影响，将其相加，那么226共有3种不同的解码方式，下面来讲解动态规划的做法。

状态表示：f[i]表示前i个数字一共有多少种解码方式，那么，f[n]就表示前n个数字一共有多少种不同的解码方式，即为答案。

状态计算：

设定字符串数组为s[](数组下标从1开始)，考虑最后一次解码方式，因此对于第i - 1和第i 个数字，分为两种决策：

1、如果s[i]不为0，则可以单独解码s[i]，由于求的是方案数，如果确定了第i个数字的翻译方式，那么解码前i个数字和解码前i - 1个数的方案数就是相同的（固定了第 i 位，即求 i-1 位的个数），即f[i] = f[i - 1]。(s[]数组下标从1开始)

2、将s[i]和s[i - 1]组合起来解码（ 组合的数字范围在10 ~ 26之间 ）。如果确定了第i个数和第i - 1个数的解码方式（固定了 第i位 和 第i-1位，即求 i-2个数的个数），那么解码前i个数字和解码前i - 2个数的方案数就是相同的，即f[i] = f[i - 2]。(s[]数组下标从1开始)

最后将两种决策的方案数加起来，因此，状态转移方程为： f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]。 

边界条件：

f[0] = 1，解码前0个数的方案数为1。

为什么解码前0个数的方案数是1？

f[0]代表前0个数字的方案数，这样的状态定义其实是没有实际意义的，但是f[0]的值需要保证边界是对的，即f[1]和f[2]是对的。比如说，第一个数不为0，那么解码前1个数只有一种方法，将其单独解码，即f[1] = f[1 - 1] = 1。解码前两个数，如果第1个数和第2个数可以组合起来解码，那么f[2] = f[1] + f[0] = 2 ，否则只能单独解码第2个数，即f[2] = f[1] = 1。因此，在任何情况下f[0]取1都可以保证f[1]和f[2]是正确的，所以f[0]应该取1。

实现细节:

在推导状态转移方程时，我们假设的s[]数组下标是从1开始的，而实际中的s[]数组下标是从0开始的，为了一 一对应，我们需要将所有字符串的下标减去 1。比如在取组合数字的值时，要取s[i - 2]和s[i - 1]，即组合值t = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0'。

代码

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        int n = s.size();
        vector f(n + 1);
        f[0] = 1;  // 边界条件
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(s[i - 1] != '0') f[i] = f[i - 1];         //单独解码s[i - 1]
            if(i >= 2){
                int t = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
                if(t >= 10 && t <= 26) f[i] += f[i - 2]; //将s[i - 2] 和 s[i - 1]组合解码
            }
        }
        return f[n];
    }
};

复杂度分析

时间复杂度分析： 状态数是 n 个，状态转移的时间复杂度是 O(1)，所以总时间复杂度是O(n)。

空间复杂度分析： O(n)。