动态规划—解码方法(leetcode 91)

题目描述

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 :

'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26
要 解码 已编码的消息,所有数字必须基于上述映射的方法,反向映射回字母(可能有多种方法)。例如,"11106" 可以映射为:

"AAJF" ,将消息分组为 (1 1 10 6)
"KJF" ,将消息分组为 (11 10 6)
注意,消息不能分组为  (1 11 06) ,因为 "06" 不能映射为 "F" ,这是由于 "6" 和 "06" 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ,请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

示例 1:

输入:s = "12"
输出:2
解释:它可以解码为 "AB"(1 2)或者 "L"(12)。
示例 2:

输入:s = "226"
输出:3
解释:它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。
示例 3:

输入:s = "0"
输出:0
解释:没有字符映射到以 0 开头的数字。
含有 0 的有效映射是 'J' -> "10" 和 'T'-> "20" 。
由于没有字符,因此没有有效的方法对此进行解码,因为所有数字都需要映射。
示例 4:

输入:s = "06"
输出:0
解释:"06" 不能映射到 "F" ,因为字符串含有前导 0("6" 和 "06" 在映射中并不等价)。
 

提示:

1 <= s.length <= 100
s 只包含数字,并且可能包含前导零。

问题分析

1、思路
(动态规划) O(n)

给定我们一个字符串s,按照题目所给定的规则将其解码,问一个字符串可以有多少种不同的解码方式。

样例:

我们先来理解一下题目的解码规则,如样例所示,s = "226",可以分为两种情况:

1、将每一位数字单独解码,因此可以解码成"BBF"(2 2 6)。
2、将相邻两位数字组合起来解码(组合的数字范围在10 ~ 26之间),因此可以解码成"BZ"(2 26), "VF"(22 6)。
两种情况是或的关系,互不影响,将其相加,那么226共有3种不同的解码方式,下面来讲解动态规划的做法。

状态表示:f[i]表示前i个数字一共有多少种解码方式,那么,f[n]就表示前n个数字一共有多少种不同的解码方式,即为答案。

状态计算:

设定字符串数组为s[](数组下标从1开始),考虑最后一次解码方式,因此对于第i - 1和第i 个数字,分为两种决策:

1、如果s[i]不为0,则可以单独解码s[i],由于求的是方案数,如果确定了第i个数字的翻译方式,那么解码前i个数字和解码前i - 1个数的方案数就是相同的(固定了第 i 位,即求 i-1 位的个数),即f[i] = f[i - 1]。(s[]数组下标从1开始)

动态规划—解码方法(leetcode 91)_第1张图片


2、将s[i]和s[i - 1]组合起来解码( 组合的数字范围在10 ~ 26之间 )。如果确定了第i个数和第i - 1个数的解码方式(固定了 第i位 和 第i-1位,即求 i-2个数的个数),那么解码前i个数字和解码前i - 2个数的方案数就是相同的,即f[i] = f[i - 2]。(s[]数组下标从1开始)

动态规划—解码方法(leetcode 91)_第2张图片
最后将两种决策的方案数加起来,因此,状态转移方程为: f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]。 

边界条件:

f[0] = 1,解码前0个数的方案数为1。

为什么解码前0个数的方案数是1?

f[0]代表前0个数字的方案数,这样的状态定义其实是没有实际意义的,但是f[0]的值需要保证边界是对的,即f[1]和f[2]是对的。比如说,第一个数不为0,那么解码前1个数只有一种方法,将其单独解码,即f[1] = f[1 - 1] = 1。解码前两个数,如果第1个数和第2个数可以组合起来解码,那么f[2] = f[1] + f[0] = 2 ,否则只能单独解码第2个数,即f[2] = f[1] = 1。因此,在任何情况下f[0]取1都可以保证f[1]和f[2]是正确的,所以f[0]应该取1。

实现细节:

在推导状态转移方程时,我们假设的s[]数组下标是从1开始的,而实际中的s[]数组下标是从0开始的,为了一 一对应,我们需要将所有字符串的下标减去 1。比如在取组合数字的值时,要取s[i - 2]和s[i - 1],即组合值t = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0'。

代码

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        int n = s.size();
        vector f(n + 1);
        f[0] = 1;  // 边界条件
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(s[i - 1] != '0') f[i] = f[i - 1];         //单独解码s[i - 1]
            if(i >= 2){
                int t = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
                if(t >= 10 && t <= 26) f[i] += f[i - 2]; //将s[i - 2] 和 s[i - 1]组合解码
            }
        }
        return f[n];
    }
};

复杂度分析

时间复杂度分析: 状态数是 n 个,状态转移的时间复杂度是 O(1),所以总时间复杂度是O(n)。

空间复杂度分析: O(n)。

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