立体几何之目：2012年理科数学大纲卷题18：四棱锥

四棱锥：2012年理科数学大纲卷题18（12 分）

如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ，， 是 上的一点，

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

（Ⅱ）设二面角 为 ，求 与平面 所成角的大小.

2012年理科数学大纲卷

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【解答第1问】

记 与 的交点为点 .

∵ 底面 ，∴ .

∵ ，∴

∵ 底面 为菱形，∴ , .

∵, ∴ , .

∵ , ∴ 平面 , ∴ .

∵ , ∴ 平面 .

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【解答第2问】

∵ 平面 平面 , 平面 平面 , 平面 平面 = ,

∴ 平面 , ∴ ,

又∵ 底面 为菱形，∴ 是正方形.

∵ ，∴ , ,

点 到平面 的距离

记 与平面 所成角为 , 则 .

∴

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【提炼与提高】

本题难度中等。其中，解答第2问的关键在于：要能熟练应用以下常用结论。

『面面垂直的性质』

如果两个相交的平面同垂直于第三个平面，则这两个平面的交线与该平面垂直。

记住这一定理是一回事；在解题过程中应用这一定理又是另一回事。

以上定理在生活中有一个常见实例：门板与门框都与地面垂直；门板与门框的交线与地面垂直。

在本题模型中也可以找到多个实例。如：平面 与平面 都与平面 垂直，这两个平面的交线 也垂直于平面 .

如果公共的第三平面是水平的，相信很多学生都能顺利解答。但在本题中，公共的第三平面是一个竖直的平面，其交线是水平的。很多考生应会在这里卡住。

这个考题很生动地体现了高考命题的特点。高考命题是以考纲为教材为基础的，所有考题所涉及的定理和方法，都能够在教材上找到。另一方面，高考又是选拨性的考试，让一部分学生卡住，让另一部分学生通过，是选拨性考试的基本特点。如何在不超纲的前提下让一部分学生“卡住”？这个考题就是很生动的实例。命题人设定了一种较为特殊的情况：公共的第三平面是竖直的，而两平面的交线是水平的。这样一个小小的变化，就完成了“选拨”的任务。

从备考的角度来说，一定要重视基本的定理和基本方法的训练。考题是海量的，“题型”也是会不断变化的。但定理的数量是有限的；基本的思想和方法也是固定的，可以在有限的时间内掌握的。

在解题过程中，不断地回归定理；总结解题的思想和方法，才是提高成绩的下途。

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【回归教材】

如前所述，解答本题的关键在于一个常用命题。这个命题在教科书上是以一个习题的形式出现的。

参见：人教版《数学：必修2》第二章习题2.3第5题（p73）。

已知平面 满足 , ，求证：.

强调一下：一定要重视教科书上的习题，高考命题往往就是以这些习题为基础。

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