数理统计基本概念梳理

0.背景

钢制塔筒疲劳设计过程中，出于设计突破的需求，要对焊缝DC（detail category）值取值进行详细计算。按照IIW（International Institute of Welding，国际焊接学会）规范给出的数理统计方法求取疲劳抗力代表值。

1. 几种概率分布模型

1.1 ${\chi }^2分布$

1.1.1 定义

设$X_1$， $X_2$，··· ， $X_n$为$n$个（$n⩾1$）相互独立的随机变量，他们都服从标准正态分布$N(0,1)$。$Y={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$，那么随机变量$Y$的分布称为自由度为$n$的${\chi }^2$分布，记为$Y\sim {\chi }^2(n)$

1.1.2 概率密度函数（PDF）

$$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}},x>0\\ \\ 0,x⩽0\end{array}$$

上式中$\Gamma (\cdot )$为伽马函数，其具体定义可以参考这里的第三节。

1.2 $t分布$

1.2.1 定义

设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，那么有：
$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$$
称统计量T分从t分布。

1.2.2 概率密度函数（PDF）

$$f(t)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi }\Gamma (\frac{n}{2})}(1+\frac{t^2}{n}{)}^{-\frac{n+1}{2}}(-\infty <t<+\infty )$$

1.3 $F分布$

1.3.1 定义

设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X\sim {\chi }^2(n_1)$，$Y\sim {\chi }^2(n_2)$，那么有：
$$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}=\frac{n_2}{n_1}\frac{X}{Y}\sim F(n_1,n_2)$$

称统计量F服从第一自由度为$n_1$， 第二自由度为$n_2$的$F$分布。

1.3.2 概率密度函数（PDF）

$$f(u)=\{\begin{array}{c}\frac{\Gamma (\frac{n_1+n_2}{2})}{\Gamma (\frac{n_1}{2})\Gamma (\frac{n_2}{2})}{n}_1^{\frac{n_1}{2}}{n}_2^{\frac{n_2}{2}}\frac{u^{\frac{n_1}{2}-1}}{(n_{1}u+n_2{)}^{\frac{n_1+n_2}{2}}},u>0\\ 0,u⩽0\end{array}$$

2. 若干定理

2.1 样本均值的分布

设$X_1$， $X_2$，··· ， $X_n$为总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的一个样本，那么对于样本均值$\overline{X}$，有：
$$\overline{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$$

2.2 样本方差的分布

设$X_1$， $X_2$，··· ， $X_n$为总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的一个样本，那么样本方差$S^2$与样本均值$\overline{X}$相互独立，并且：
$$\frac{n-1}{{\sigma }^2}{S}^2\sim {\chi }^2(n-1)$$

2.3

设$X_1$， $X_2$，··· ， $X_n$为总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的一个样本，$\overline{X}$与$S^2$分别为样本均值和样本方差，那么：
$$\frac{(\overline{X}-\mu )\sqrt{n}}{S}\sim t(n-1)$$

3. 讨论

Last.参考文献

• 概率论与数理统计，王勇，高等教育出版社