数理统计基本概念梳理
文章目录
- 0.背景
- 1. 几种概率分布模型
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- 1.1 χ 2 分布 \chi^2分布 χ2分布
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- 1.1.1 定义
- 1.1.2 概率密度函数（PDF）
- 1.2 t 分布 t分布 t分布
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- 1.2.1 定义
- 1.2.2 概率密度函数（PDF）
- 1.3 F 分布 F分布 F分布
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- 1.3.1 定义
- 1.3.2 概率密度函数（PDF）
- 2. 若干定理
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- 2.1 样本均值的分布
- 2.2 样本方差的分布
- 2.3
- 3. 讨论
- Last.参考文献
0.背景
钢制塔筒疲劳设计过程中，出于设计突破的需求，要对焊缝DC（detail category）值取值进行详细计算。按照IIW（International Institute of Welding，国际焊接学会）规范给出的数理统计方法求取疲劳抗力代表值。
1. 几种概率分布模型
1.1 χ 2 分布 \chi^2分布 χ2分布
1.1.1 定义
设 X 1 X_1 X1， X 2 X_2 X2，··· ， X n X_n Xn为 n n n个（ n ⩾ 1 n \geqslant 1 n⩾1）相互独立的随机变量，他们都服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1)。 Y = ∑ i = 1 n X i 2 Y=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} Y=∑i=1nXi2，那么随机变量 Y Y Y的分布称为自由度为 n n n的 χ 2 \chi^2 χ2分布，记为 Y ∼ χ 2 ( n ) Y \sim \chi^2(n) Y∼χ2(n)
1.1.2 概率密度函数（PDF）
f ( x ) = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − x 2 , x > 0 0 , x ⩽ 0 f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, x>0\\ \\ 0, \quad x\leqslant 0 \end{matrix}\right. f(x)=⎩ ⎨ ⎧22nΓ(2n)1x2n−1e−2x,x>00,x⩽0
上式中 Γ ( ⋅ ) \Gamma(\cdot) Γ(⋅)为伽马函数，其具体定义可以参考这里的第三节。
1.2 t 分布 t分布 t分布
1.2.1 定义
设随机变量 X X X和 Y Y Y相互独立，且 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0, 1) X∼N(0,1)， Y ∼ χ 2 ( n ) Y \sim \chi^2(n) Y∼χ2(n)，那么有：
T = X Y / n ∼ t ( n ) T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n) T=Y/nX∼t(n)
称统计量T分从t分布。
1.2.2 概率密度函数（PDF）
f ( t ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + t 2 n ) − n + 1 2 ( − ∞ < t < + ∞ ) f(t)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n \pi} \Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} \qquad (-\infty < t < +\infty) f(t)=nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nt2)−2n+1(−∞<t<+∞)
1.3 F 分布 F分布 F分布
1.3.1 定义
设随机变量 X X X和 Y Y Y相互独立，且 X ∼ χ 2 ( n 1 ) X \sim \chi^2(n_1) X∼χ2(n1)， Y ∼ χ 2 ( n 2 ) Y \sim \chi^2(n_2) Y∼χ2(n2)，那么有：
F = X / n 1 Y / n 2 = n 2 n 1 X Y ∼ F ( n 1 , n 2 ) F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}=\frac{n_2}{n_1} \frac{X}{Y} \sim F(n_1, n_2) F=Y/n2X/n1=n1n2YX∼F(n1,n2)
称统计量F服从第一自由度为 n 1 n_1 n1， 第二自由度为 n 2 n_2 n2的 F F F分布。
1.3.2 概率密度函数（PDF）
f ( u ) = { Γ ( n 1 + n 2 2 ) Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 2 ) n 1 n 1 2 n 2 n 2 2 u n 1 2 − 1 ( n 1 u + n 2 ) n 1 + n 2 2 , u > 0 0 , u ⩽ 0 f(u)=\left\{\begin{matrix} \frac{\Gamma(\frac{n_1+n_2}{2})}{\Gamma(\frac{n_1}{2}) \Gamma(\frac{n_2}{2})} n_1^{\frac{n_1}{2}}n_2^{\frac{n_2}{2}} \frac{u^{\frac{n_1}{2}-1}}{(n_1u+n_2)^{\frac{n_1+n_2}{2}}} \quad, \quad u>0 \\ 0, \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \ \ u \leqslant 0 \end{matrix}\right. f(u)=⎩ ⎨ ⎧Γ(2n1)Γ(2n2)Γ(2n1+n2)n12n1n22n2(n1u+n2)2n1+n2u2n1−1,u>00, u⩽0
2. 若干定理
2.1 样本均值的分布
设 X 1 X_1 X1， X 2 X_2 X2，··· ， X n X_n Xn为总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的一个样本，那么对于样本均值 X ‾ \overline{X} X，有：
X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) \overline{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n) X∼N(μ,σ2/n)
2.2 样本方差的分布
设 X 1 X_1 X1， X 2 X_2 X2，··· ， X n X_n Xn为总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的一个样本，那么样本方差 S 2 S^2 S2与样本均值 X ‾ \overline{X} X相互独立，并且：
n − 1 σ 2 S 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \sim \chi^2(n-1) σ2n−1S2∼χ2(n−1)
2.3
设 X 1 X_1 X1， X 2 X_2 X2，··· ， X n X_n Xn为总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的一个样本， X ‾ \overline{X} X与 S 2 S^2 S2分别为样本均值和样本方差，那么：
( X ‾ − μ ) n S ∼ t ( n − 1 ) \frac{(\overline{X} - \mu) \sqrt{n}}{S} \sim t(n-1) S(X−μ)n∼t(n−1)
3. 讨论
Last.参考文献
- 概率论与数理统计，王勇，高等教育出版社