2023 年 数维杯(C题)国际大学生数学建模挑战赛 |数学建模完整代码+建模过程全解全析

问题重述

信息技术和人工智能的迅速发展,特别关注大型语言模型(Large Language Models,LLMs)在全球范围内的广泛应用,以ChatGPT为代表。这些模型在机器人导航、语音识别、图像识别、自然语言处理和智能推荐等领域表现出色,为人们提供了丰富、智能和便捷的体验。
然而,随着这些技术的普及,也出现了一些潜在问题。首先,这些大型语言模型是基于文本训练的,而不同领域的语言和文化背景可能对生成的结果产生重要影响。其次,生成的文本可能存在语义偏见、逻辑不连贯和缺乏创造力的问题。最后,涉及隐私保护、版权保护以及学术不端行为等问题,特别是在学术领域可能存在使用AI生成论文导致的相关问题。
因此,虽然这些模型为我们带来了很多便利,但也需要认识到其潜在风险和挑战。在这个背景下,题目提出了一系列问题,旨在深入探讨使用AI生成文本可能引发的问题,并提出建立模型和方法来解决这些问题。
2023 年 数维杯(C题)国际大学生数学建模挑战赛 |数学建模完整代码+建模过程全解全析_第1张图片

问题一

我们可以定义一些关键变量,然后通过对这些变量进行统计分析来寻找AI文本生成的基本规律。以下是一些可能的变量:

  1. W W W:生成的字数要求,取值为200字、500字等。
  2. G G G:生成次数,包括首次生成和点击"重新生成"按钮的次数。
  3. T T T:是否中英文翻译,取值为0表示未翻译,1表示中文翻译,2表示英文翻译。
  4. S S S:生成文本的风格,可以用一个离散值表示。

我们可以通过一个包含这些变量的矩阵 X X X 来表示数据:

X = [ W 1 G 1 T 1 S 1 W 2 G 2 T 2 S 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ W N G N T N S N ] X = \begin{bmatrix} W_1 & G_1 & T_1 & S_1 \\ W_2 & G_2 & T_2 & S_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ W_N & G_N & T_N & S_N \end{bmatrix} X= W1W2WNG1G2GNT1T2TNS1S2SN

接下来,我们可以通过对矩阵 X X X 进行统计分析,找到生成文本的基本规律。例如,我们可以计算在特定字数要求下,重新生成的次数的平均值、中英文翻译的频率分布、不同风格的出现频率等。

使用统计学方法,例如计算均值、方差、频率分布等。例如,我们可以定义一个函数 (f(W, G, T, S)) 来表示生成文本的某个方面,然后通过对 (X) 中的数据进行分析,得到关于这个函数的统计信息。

f ( W , G , T , S ) = 某个方面的特征 f(W, G, T, S) = \text{某个方面的特征} f(W,G,T,S)=某个方面的特征

在简单多元回归中,通过回归模型的输出来判断文本是否为AI生成,设置一个阈值,当模型的输出超过这个阈值时,认为文本是由AI生成的。

在多元回归中,模型的输出 Y Y Y 可以表示为:

Y = β 0 + β 1 ⋅ W + β 2 ⋅ G + β 3 ⋅ T + β 4 ⋅ S + ϵ Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot W + \beta_2 \cdot G + \beta_3 \cdot T + \beta_4 \cdot S + \epsilon Y=β0+β1W+β2G+β3T+β4S+ϵ

其中, β 0 , β 1 , β 2 , β 3 , β 4 \beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4 β0,β1,β2,β3,β4是回归系数, ϵ \epsilon ϵ 是误差项。

设置一个阈值 T AI T_{\text{AI}} TAI,当 Y > T AI Y > T_{\text{AI}} Y>TAI 时,认为文本是由AI生成的,否则认为不是。

在进行假设检验时,我们的目标是判断某个回归系数是否显著不为零。假设检验通常涉及到以下步骤:

首先,我们建立两个假设,即零假设 H 0 H_0 H0备择假设 H 1 H_1 H1

  • H 0 H_0 H0: 回归系数等于零,即 β i = 0 \beta_i = 0 βi=0,表示该变量对生成文本的某个方面没有显著影响。
  • H 1 H_1 H1: 回归系数不等于零,即 β i ≠ 0 \beta_i \neq 0 βi=0,表示该变量对生成文本的某个方面有显著影响。

选择显著性水平(Significance Level),通常用 (\alpha) 表示,例如取 (\alpha = 0.05)。这代表我们允许的错误发生率,即在零假设为真时错误地拒绝它的概率。

计算检验统计量(Test Statistic),该统计量用于在给定显著性水平下决定是否拒绝零假设。对于回归系数 (\beta_i),检验统计量通常计算为:

t = β ^ i SE ( β ^ i ) t = \frac{\hat{\beta}_i}{\text{SE}(\hat{\beta}_i)} t=SE(β^i)β^i

其中, β ^ i \hat{\beta}_i β^i 是回归系数的估计值, SE ( β ^ i ) \text{SE}(\hat{\beta}_i) SE(β^i) 是估计的标准误差。
根据检验统计量计算 p-值,p-值表示在零假设为真的情况下,观察到当前检验统计量或更极端情况的概率。

在给定的显著性水平下(通常为 (\alpha = 0.05)),比较 p-值和显著性水平,如果 (p < \alpha),则拒绝零假设,认为回归系数显著不为零;如果 (p \geq \alpha),则接受零假设,表示没有足够的证据拒绝零假设。

如果拒绝了零假设,说明相应的变量对生成文本的某个方面有显著影响。反之,如果接受了零假设,说明该变量对生成文本的某个方面没有显著影响。

通过假设检验的步骤,判断每个变量的回归系数是否显著不为零,从而在统计学上推断它们对生成文本的影响。

问题二

我们可以考虑使用一种二元分类的方法,通过分析每一段文本的多个因素来判断该段是否由AI生成。

定义一些可能影响判断的变量:

  1. L L L:生成语言,0表示未生成,1表示中文生成,2表示英文生成。
  2. (T):是否翻译,0表示未翻译,1表示中文翻译,2表示英文翻译。
  3. (G):生成次数,表示生成的次数。
  4. (L):输出字数限制,0表示没有字数限制,1表示有字数限制。

将这些变量用一个矩阵 (Y) 表示,其中每一行代表一段文本。

Y = [ L 1 T 1 G 1 L 1 L 2 T 2 G 2 L 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ L N T N G N L N ] Y = \begin{bmatrix} L_1 & T_1 & G_1 & L_1 \\ L_2 & T_2 & G_2 & L_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ L_N & T_N & G_N & L_N \end{bmatrix} Y= L1L2LNT1T2TNG1G2GNL1L2LN

步骤二:建立二元分类模型

使用Transformer进行二元分类提供一些更具体的数学公式解释。我们将主要关注Transformer的Self-Attention机制和二元分类的数学表达。

1. Transformer的Self-Attention机制

Self-Attention机制允许模型在处理输入序列时对不同位置的信息分配不同的权重。对于一个输入序列 X X X,经过Self-Attention的计算,我们可以得到新的表示 (Z),其中 Z i Z_i Zi 表示第 i i i 个位置的表示。Self-Attention的计算可以用以下公式表示:

Z i = ∑ j Attention ( X i , X j ) ⋅ X j Z_i = \sum_{j} \text{Attention}(X_i, X_j) \cdot X_j Zi=jAttention(Xi,Xj)Xj

其中, Attention ( X i , X j ) \text{Attention}(X_i, X_j) Attention(Xi,Xj)表示第 i i i 个位置和第 j j j 个位置之间的注意力权重。

2. 文本表示

对于文本段落的表示,我们可以使用Transformer的输出中的某一维度,通常是CLS标记的输出。表示为 C C C

C = Transformer ( X ) C = \text{Transformer}(X) C=Transformer(X)

3. 二元分类层

将文本表示输入二元分类层,其中 (W) 是权重,(b) 是偏置,(f) 是激活函数(通常是Sigmoid函数):

y ^ = f ( W ⋅ C + b ) \hat{y} = f(W \cdot C + b) y^=f(WC+b)

4. 损失函数

使用二元交叉熵损失函数:

Loss = − 1 N ∑ i = 1 N [ y i log ⁡ ( y ^ i ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − y ^ i ) ] \text{Loss} = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i \log(\hat{y}_i) + (1-y_i) \log(1-\hat{y}_i) \right] Loss=N1i=1N[yilog(y^i)+(1yi)log(1y^i)]

其中, N N N 是样本数量, y i y_i yi 是实际标签(0或1), y ^ i \hat{y}_i y^i 是模型的预测输出。

5. 训练过程

通过反向传播算法,优化模型参数以最小化损失函数。使用梯度下降算法或其他优化算法。

6. 推断过程

在推断过程中,将新的文本输入模型,得到输出概率。可以根据概率设定一个阈值,例如0.5,判断文本是由AI生成还是非AI生成。

这些数学公式提供了对问题二中使用Transformer进行二元分类任务的详细解释。在实践中,可以根据具体情况调整模型结构和超参数。

步骤三:训练模型

使用已有的数据集,包含标记好的文本段落和对应的变量值,对模型进行训练。在训练中,模型将学习不同变量对于文本生成的影响,从而能够判断一段文本是否由AI生成。

在实际应用中,基于Transformer的二元分类任务的代码通常使用深度学习框架,例如TensorFlow或PyTorch。由于代码的长度较长,这里提供一个简化版本的伪代码,展示了关键的步骤和概念。

这个伪代码使用PyTorch作为深度学习框架,同时使用Hugging Face的Transformers库以便快速使用预训练的Transformer模型。

import torch
import torch.nn as nn
from transformers import BertModel, BertTokenizer

# 定义Transformer模型
class TransformerClassifier(nn.Module):
    def __init__(self, hidden_size, num_classes):
        super(TransformerClassifier, self).__init__()
        self.transformer = BertModel.from_pretrained('bert-base-uncased')
        self.fc = nn.Linear(hidden_size, num_classes)
        self.sigmoid = nn.Sigmoid()

    def forward(self, input_ids, attention_mask):
        outputs = self.transformer(input_ids, attention_mask=attention_mask)
        cls_output = outputs.last_hidden_state[:, 0, :]
        logits = self.fc(cls_output)
        proba = self.sigmoid(logits)
        return proba

# 数据预处理
tokenizer = BertTokenizer.from_pretrained('bert-base-uncased')
text = "This is a sample text."
inputs = tokenizer(text, return_tensors="pt", padding=True, truncation=True)

# 构建模型
hidden_size = 768  # BERT-base的隐藏层大小
num_classes = 1    # 二元分类
model = TransformerClassifier(hidden_size, num_classes)

# 模型输入
input_ids = inputs["input_ids"]
attention_mask = inputs["attention_mask"]

# 模型输出
output_proba = model(input_ids, attention_mask)

# 计算损失
criterion = nn.BCELoss()
target = torch.tensor([1.0])  # 实际标签
loss = criterion(output_proba, target)

# 反向传播与优化
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()

使用BERT模型进行文本表示,使用了Sigmoid激活函数和二元交叉熵损失函数进行二元分类。

步骤四:模型评估

使用另外的数据集对模型进行评估,检查模型的性能,包括准确率、召回率、精确率等指标。这些指标可以衡量模型在判断每一段文本生成情况上的表现。

import torch
from transformers import BertTokenizer

# 加载已训练的模型
model = TransformerClassifier(hidden_size, num_classes)
model.load_state_dict(torch.load('your_trained_model.pth'))  # 请替换为你实际的模型文件路径
model.eval()

# 数据预处理
tokenizer = BertTokenizer.from_pretrained('bert-base-uncased')
text = "This is a new text for inference."
inputs = tokenizer(text, return_tensors="pt", padding=True, truncation=True)

# 模型输入
input_ids = inputs["input_ids"]
attention_mask = inputs["attention_mask"]

# 推断
with torch.no_grad():
    output_proba = model(input_ids, attention_mask)

# 输出概率
print("预测概率:", output_proba.item())

# 根据阈值进行分类
threshold = 0.5
prediction = 1 if output_proba.item() > threshold else 0
print("预测结果:", prediction)

推理代码加载了之前训练好的模型权重,并使用该模型对新的文本进行推断。

这个方法结合了机器学习的思想,通过学习不同变量对文本生成的影响,使得模型能够在给定输入变量的情况下判断文本是否由AI生成。

问题三

对于语言模型特征中的信息熵,以及统计验证、特征工程、文献网络分析和社交网络分析等方法。

1. 语言模型特征:

1.1 信息熵:

信息熵是用来度量一个随机变量不确定度的概念,可以应用于文本的信息量评估。

H ( X ) = − ∑ i = 1 n P ( x i ) log ⁡ 2 P ( x i ) H(X) = - \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2 P(x_i) H(X)=i=1nP(xi)log2P(xi)

其中, P ( x i ) P(x_i) P(xi) 是词汇表中第 i i i个词出现的概率。

2. 实验设计与验证:

2.1 统计验证:

在统计验证中,一个常见的做法是使用 t 检验。

t = X ˉ − μ s / n t = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} t=s/n Xˉμ

其中, X ˉ \bar{X} Xˉ 是样本均值, μ \mu μ是总体均值, s s s 是样本标准差, n n n 是样本大小。

3. 技术细节:

3.1 特征工程:

使用 TF-IDF进行关键词权重计算。

TF-IDF ( t , d ) = TF ( t , d ) × IDF ( t ) \text{TF-IDF}(t, d) = \text{TF}(t, d) \times \text{IDF}(t) TF-IDF(t,d)=TF(t,d)×IDF(t)

其中,TF 表示词频,IDF 表示逆文档频率。

4. 引用和参考文献:

4.1 文献网络分析:

可以使用图论的相关指标,如节点度、中心性等。

centrality = 连接到节点的边数 总节点数 − 1 \text{centrality} = \frac{\text{连接到节点的边数}}{\text{总节点数}-1} centrality=总节点数1连接到节点的边数

5. 作者身份可疑:

5.1 社交网络分析:

使用社交网络中的中心性指标,例如介数中心性。

介数中心性 = ∑ s ≠ v ≠ t σ ( s , t ∣ v ) σ ( s , t ) \text{介数中心性} = \sum_{s \neq v \neq t} \frac{\sigma(s, t|v)}{\sigma(s, t)} 介数中心性=s=v=tσ(s,t)σ(s,tv)

其中, σ ( s , t ) \sigma(s, t) σ(s,t) 表示从节点 s s s 到节点 t t t 的最短路径数, σ ( s , t ∣ v ) \sigma(s, t|v) σ(s,tv) 表示通过节点 (v) 的最短路径数。

结合多个特征进行加权得分和二元分类判断:

class BinaryClassifier:
    def __init__(self, weights, threshold):
        self.weights = weights
        self.threshold = threshold

    def calculate_total_score(self, features):
        # 计算总得分
        total_score = sum(f * w for f, w in zip(features, self.weights))
        return total_score

    def classify(self, total_score):
        # 进行二元分类判断
        return "AI生成" if total_score > self.threshold else "人类创作"

# 示例特征和权重
example_features = [feature1, feature2, feature3]  # 请替换为实际特征的值
example_weights = [weight1, weight2, weight3]  # 请替换为实际权重的值

# 示例阈值
example_threshold = 0.5  # 请替换为实际阈值

# 创建二元分类器对象
classifier = BinaryClassifier(weights=example_weights, threshold=example_threshold)

# 计算总得分
total_score_example = classifier.calculate_total_score(example_features)

# 进行二元分类判断
classification_result = classifier.classify(total_score_example)

# 打印结果
print(f"总得分: {total_score_example}")
print(f"分类结果: {classification_result}")

问题四:

了解,建立一个综合的抄袭检测模型需要综合考虑文本、图像和公式等多个方面。以下是一个简化的框架,其中包括文本相似性、图像处理和公式匹配等不同模块:

文本相似性模块:

使用文本相似性度量方法,如余弦相似度,来比较文章中数学模型的文本描述。

from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity

def calculate_text_similarity(text1, text2):
    vectorizer = CountVectorizer().fit_transform([text1, text2])
    vectors = vectorizer.toarray()
    similarity = cosine_similarity([vectors[0]], [vectors[1]])[0][0]
    return similarity

图像处理模块:

使用深度学习方法对图像进行特征提取,然后比较图像的相似性。

# 使用适当的深度学习库导入模型和相关功能
from tensorflow.keras.applications import VGG16
from tensorflow.keras.preprocessing import image
from tensorflow.keras.applications.vgg16 import preprocess_input
from tensorflow.keras.models import Model
import numpy as np

def calculate_image_similarity(image_path1, image_path2):
    # 使用预训练的VGG16模型提取图像特征
    model = VGG16(weights='imagenet', include_top=False)
    img1 = image.load_img(image_path1, target_size=(224, 224))
    img2 = image.load_img(image_path2, target_size=(224, 224))
    img1 = image.img_to_array(img1)
    img2 = image.img_to_array(img2)
    img1 = preprocess_input(np.expand_dims(img1, axis=0))
    img2 = preprocess_input(np.expand_dims(img2, axis=0))
    features1 = model.predict(img1)
    features2 = model.predict(img2)

    # 使用余弦相似度计算特征向量的相似性
    similarity = cosine_similarity(features1.flatten().reshape(1, -1), features2.flatten().reshape(1, -1))[0][0]
    return similarity

公式匹配模块:

使用LaTeX解析器将公式解析成结构化的数据,然后比较两个公式的结构相似性。

# 使用适当的LaTeX解析库导入模型和相关功能
from sympy import Eq, latex, simplify, symbols
from sympy.parsing.latex import parse_latex

def calculate_formula_similarity(formula1, formula2):
    # 解析LaTeX公式
    expr1 = parse_latex(formula1)
    expr2 = parse_latex(formula2)

    # 简化表达式
    simplified_expr1 = simplify(expr1)
    simplified_expr2 = simplify(expr2)

    # 比较两个公式的相似性
    similarity = float(simplified_expr1.equals(simplified_expr2))
    return similarity

模型整合:

将以上三个模块整合为一个综合的抄袭检测模型:

class PlagiarismDetectionModel:
    def __init__(self, text_weight, image_weight, formula_weight):
        self.text_weight = text_weight
        self.image_weight = image_weight
        self.formula_weight = formula_weight

    def detect_plagiarism(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):
        # 计算各模块相似性
        text_similarity = calculate_text_similarity(text1, text2)
        image_similarity = calculate_image_similarity(image_path1, image_path2)
        formula_similarity = calculate_formula_similarity(formula1, formula2)

        # 综合得分
        total_score = self.text_weight * text_similarity + self.image_weight * image_similarity + self.formula_weight * formula_similarity

        # 返回结果
        return total_score

消融实验

消融实验是为了评估模型中各个组成部分的重要性,通常通过逐步移除某个组件并观察模型性能的变化来进行。在抄袭检测模型中,我们可以进行消融实验以评估文本、图像和公式模块对整体抄袭检测性能的贡献。

以下是一个简单的消融实验示例,假设我们有一个包含文本、图像和公式的抄袭检测模型,我们分别对这三个模块进行消融实验:

class AblationExperiment:
    def __init__(self, model):
        self.model = model

    def text_ablation(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):
        # 移除文本模块
        self.model.text_weight = 0
        total_score = self.model.detect_plagiarism(text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2)
        return total_score

    def image_ablation(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):
        # 移除图像模块
        self.model.image_weight = 0
        total_score = self.model.detect_plagiarism(text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2)
        return total_score

    def formula_ablation(self, text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2):
        # 移除公式模块
        self.model.formula_weight = 0
        total_score = self.model.detect_plagiarism(text1, text2, image_path1, image_path2, formula1, formula2)
        return total_score

在这个示例中,我们创建了一个AblationExperiment类,该类允许我们分别移除文本、图像和公式模块,然后检查模型性能的变化。

plagiarism_model = PlagiarismDetectionModel(text_weight=0.5, image_weight=0.3, formula_weight=0.2)
experiment = AblationExperiment(plagiarism_model)

# 示例文本、图像和公式
example_text1 = ""
example_text2 = ""
example_image_path1 = "path/to/image1.jpg"
example_image_path2 = "path/to/image2.jpg"
example_formula1 = "a = b + c"
example_formula2 = "x = y * z"

# 消融实验:移除文本模块
text_ablation_score = experiment.text_ablation(example_text1, example_text2, example_image_path1, example_image_path2, example_formula1, example_formula2)

# 消融实验:移除图像模块
image_ablation_score = experiment.image_ablation(example_text1, example_text2, example_image_path1, example_image_path2, example_formula1, example_formula2)

# 消融实验:移除公式模块
formula_ablation_score = experiment.formula_ablation(example_text1, example_text2, example_image_path1, example_image_path2, example_formula1, example_formula2)

# 打印结果
print(f"移除文本模块后得分: {text_ablation_score}")
print(f"移除图像模块后得分: {image_ablation_score}")
print(f"移除公式模块后得分: {formula_ablation_score}")

2023 年 数维杯(C题) CS数模 国际大学生数学建模挑战赛 全解全析

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