【考研数学】正交变换后如果不是标准型怎么办？| 关于二次型标准化的一些思考

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引言

前阵子做了下 20 年真题，问题大大的，现在订正到矩阵的第一个大题，是关于二次型正交变换的。和常规不同的是，原来的二次型，经过一个正交变换，并没有得到一个标准型。我一下子就傻眼了，无从落笔。

看了下答案，说是利用正交变换也是相似变换这一点，可以得到变换前后的两个二次型矩阵相似，从而得出相关结论。

看到这里的瞬间感觉到深深的恐惧，似乎之前从来都没想到过这些联系，只知道标准化是有这么一个正交矩阵做变换。要是其他知识点也出一个这样的题，那今年可就不好受了。

于是动手敲下此文，以期整理好二次型标准化变换的内在原理。

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一、回顾

二次型的定义是什么？

是含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 且每项都是二次的齐次多项式，如 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+4x_2{x}_3+2x_1{x}_3$ 。

任何一个二次型都可以写成 $X^{T}AX$ 的矩阵形式，我们也称它为二次型矩阵，如上面的例子，可以写成： f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = [ x 1 x 2 x 3 ] T [ 1 1 1 1 1 2 1 2 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] f(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} f(x1​,x2​,x3​)= ​x1​x2​x3​​ ​T ​111​112​121​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​

如果 $A$ 不是实对称矩阵，也是可以写成矩阵形式的，只是没办法把矩阵形式和原二次型对应起来，所以我们一般不讨论。而如果 $A$ 是实对称矩阵，那就可以对应起来了。所以任何一个二次型都对应有一个实对称矩阵。

什么叫标准二次型？

是只含有平方项，而不含有交叉项的二次型，如 $f_2(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ 。为什么要定义一个二次型出来？因为此时如果写成矩阵形式，二次型矩阵 $A$ 是对角阵，有很多不错的性质。像 $f_2$ 就可以表示为如下矩阵形式： f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = X T [ 1 1 1 ] X f_2(x_1,x_2,x_3)=\pmb{X}^T\begin{bmatrix} 1 \\ & 1 & \\ & & 1\end{bmatrix}\pmb{X} f2​(x1​,x2​,x3​)=XT ​1​1​1​ ​X

怎么化为标准型？

引入定理 1：任何一个二次型总可以通过可逆的线性变换 $X=PY$ ，即 $P$ 是可逆矩阵，化为标准型。即 $$f(X)=X^{T}AX\to Y^T(P^{T}AP)Y=l_1{y}_1^2+l_2{y}_2^2+\cdots +l_m{y}_m^2$$ 不过这个标准型不唯一，也就是说不同 $P$ 可能化到的标准型系数不一。但是，系数的正、负、零的个数是相同的，我们也称之为正、负、零惯性指数。

引入定理 2：特别地，如果二次型矩阵 $A$ 是实对称矩阵，一定存在一个正交矩阵 $Q$ ，通过正交变换 $X=QY$ ，可将二次型化为标准型。即 $$f(X)=X^{T}AX\to Y^T(Q^{T}AQ)Y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$ 这个标准型就是唯一的了，系数为矩阵 $A$ 的特征值。

根据这两个定理，我们只要求出了 $P,Q$ 这两个可逆矩阵就可以求出标准型了。对于求 $P$ 这个一般的可逆阵，我们有配方法；对于求 $Q$ 这个特殊的正交矩阵，我们有正交变换法。

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二、思考

我们可以把二次型的变换过程同二次型矩阵的变换过程联系起来，对于二次型是做了一个线性变换 $X=PY$ ，相当于对二次型矩阵做了一系列初等行变换和列变换（$P$ 可逆，可以看作是一系列初等矩阵的乘积），即 $A\to P^{T}AP$ 。

而我们知道，标准型的二次型矩阵是一个对角阵，即 $P^{T}AP$ 是一个对角阵。于是，二次型变为了标准型，二次型矩阵变为了对角阵，即二次型标准化的过程，相当于二次型矩阵相似对角化的过程。

相似的定义我们知道，是存在一个可逆矩阵 $P_0$ 使得 ${P_0}^{-1}A{P}_0=B$ ，则 $A,B$ 相似。而二次型变换又一定是可逆变换，于是 $P^{T}AP$ 和 $A$ 相似。

那似乎有这样一个结论，尽管一个矩阵是非实对称的矩阵，但是它作为了二次型的矩阵，因而可以判断其一定能相似对角化。这个结论是有问题的！！！

二次型一定可以化为标准型，这个结论是没问题的，但这不代表它的二次型矩阵一定可以相似对角化。因为二次型一定可以标准化的原因是它一定对应着唯一一个实对称矩阵，而实对称矩阵一定可以相似对角化，因而二次型一定可以化为标准型！

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回到我们最初的问题，如果经过正交变换没化成标准型怎么办？首先，这是可能存在的，因为根据定理 2 ，是存在一个正交矩阵 $Q$ ，使得经过正交变换后可以化为标准型，不一定每一个正交变换都可以化成标准型。

设变换前的二次型矩阵为 $A$ ，变换后为 $B$ ，由标准化定义，有 $Q^{T}AQ=B$ ，$Q$ 正交，有 $Q^{-1}AQ=B$故 $A\sim B$。于是，矩阵 $A,B$ 的特征值相同，行列式和迹也相同。

而且，一定存在正交矩阵 $Q_1,Q_2$ ，使得 ${Q_1}^{T}AQ=\Lambda ={Q_2}^{T}B{Q}_2$ 。

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写在最后

看来是自己对二次型过程和相似对角化过程的联系不太清楚，下次在碰见二次型变换的题目，先把定义写边上！

参考文献
AI_Younger_Man，二次型：实对称矩阵