【左程云算法全讲11】贪心算法 & 并查集

系列综述：
目的：本系列是个人整理为了秋招面试的，整理期间苛求每个知识点，平衡理解简易度与深入程度。
来源：材料主要源于左程云算法课程进行的，每个知识点的修正和深入主要参考各平台大佬的文章，其中也可能含有少量的个人实验自证。
结语：如果有帮到你的地方，就点个赞和关注一下呗，谢谢！！！
【C++】秋招&实习面经汇总篇

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贪心算法

1. 需要整理堆的使用，重写cmp

auto cmp = [&](const int& a, const int &b) {
    return cnt[a] < cnt[b];//此处cnt可由上文完成定义（最大堆--跟sort正好相反）
};
priority_queue<int, vector<int>, decltype(cmp)>pq{cmp};

2. 分解过程
   • 分解业务
   • 根据业务逻辑找到不同的贪心策略
   • 可以举出反例的贪心策略直接跳过，不能举出反例的要证明其有效性
3. 贪心算法的解题套路
   • 实现一个不依靠贪心策略的解法X，可以用最暴力的尝试
   • 脑补出贪心策略A、贪心策略B、贪心策略C…
   • 用解法X和对数器，用实验的方式得知哪个贪心策略正确
   • 不要去纠结贪心策略的证明
4. 贪心策略：通常使用堆和排序
5. 示例：排序式贪心
   • 题目：
     • 一些项目要占用一一个会议室宣讲，会议室不能同时容纳两个项目的宣讲。
     • 给你每- -个项目开始的时间和结束的时间
     • 你来安排宣讲的日程，要求会议室进行的宣讲的场次最多。
     • 返回最多的宣讲场次。
   • 贪心思路：每次优先安排结束时间最早的，并且将无法安排的进行删除
6. 示例：堆式贪心1
   • 题目：
     • 一块金条切成两部分，需要花费和原长度一样的铜板数量
     • 比如长度为20的金条，不管怎么切，都要花费20个铜板。
     • 一群人各自分到自己想要的金条部分（和为总长度），怎么分最省铜板?
   • 思路1：每次尽可能的切下最大的部分
   • 思路2：使用哈夫曼树，每次弹出最小的两个数合并后在压入
     
7. 示例：堆式贪心2
   • 题目：
     • 输入：正数数组costs、正数数组profits、 正数K、正数M。costs[]表示i号项目的花费，profits[]表示i号项目在扣除花费之后还能挣到的钱(利润)
     • K表示你只能串行的最多做k个项目，M表示你初始的资金
     • 说明：每做完一个项目，马上获得的收益，可以支持你去做下一个项目。不能并行的做项目。
     • 输出:你最后获得的最大钱数。
   • 思路1：建立两个堆，一个以costs作为key的小根堆，一个是以profits作为key的大根堆。

   struct Program {
   	int p;
   	int c
   	Program(int profit, int cost) : p(profit), c(cost){}
   }
   
   int FindMaxProfits(vector<int> profits, vector<int> costs, int times, int surplus) {
   	// 比较最小花费
   	auto cmp_min_cost = [](const Program &a, const Program &b)->bool{
   		return a.c < b.c;
   	};
   	// 比较最大利润
   	auto cmp_max_profit = [](const Program &a, const Program &b)->bool{
   		return a.p > b.p;
   	};
   	// 关于花费的小根堆
   	priority_queue<Program , vector<Program>, decltype(cmp_min_cost)> min_cost_pq;
   	// 关于利润的大根堆
   	priority_queue<Program , vector<Program>, decltype(cmp_max_profit)> max_profit_pq;
   	// 将所有花费压入优先队列中
   	for (int i = 0; i < profits.size(); ++i) {
   		Program pg = {profits[i], costs[i]};
   		min_cost_pq.push(pg);
   	}	
   	// 每次循环取出所有可支持的项目，并压入最大利润队列
   	for (int i = 0; i < times; ++i) {
   		while (!min_cost_pq.empty() && min_cost_pq.top().c <= surplus){
   			Program pg = min_cost_pq.top();
   			min_cost_pq.pop();
   			max_profit_pq.push(pg);
   		}
   		// 如果最大利润队列为空，说明没有符合的项目可以继续进行
   		if (max_profit_pq.empty()) {
   			return surplus;
   		}
   		// 获取最大利润
   		surplus += max_profit_pq.top().p;
   		max_profit_pq.pop();
   	}	
   
   }
   

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并查集

1. 基本操作
   • 并：合并两个子集为一个新的集合
   • 查：通过查找一个结点的根节点，从而查找元素所属子集
2. 作用：快速确定集合中的两两元素是否属于S的同一子集
3. 基本并查集
   • 问题：每一次Find操作的时间复杂度为O(H)，H为树的高度，由于树的不断合并可能会使树严重不平衡，最坏情况每个节点都只有一个子节点，如下图3（第一个点为根节点）

   #include 
   class DisjSet {
   private:
   	vector<int> parent; 
   public:
   	DisjSet(int max_size) : parent(vector<int>(max_size)) {
   		// 各自为营：初始化每一个元素的根节点都为自身
   		for(int i = 0; i < max_size; i++) 
   			parent[i] = i; 
   	}
   	// 查找：没找到就一直递归查看父亲结点
   	int find(int x) {
   		return (parent[i] == x ? x : find(parent[i]);
   	}
   	// 合并：将 x1 所在的集合的根节点的父节点设置为 x2 所在集合的根节点
   	void to_union(int x1, int x2) {
           parent[find(x1)] = find(x2);
       }
   	// 判断两个元素是否属于同一个集合
       bool is_same(int e1, int e2) {
           return find(e1) == find(e2);
       }
   };
   
   

4. 优化并查集
   • 路径压缩：查询过程中，将沿途每个结点的父结点都设置为根结点，下次就可以减少查询路径长度
   • 按秩合并：“按秩合并”。实际上就是在合并两棵树时，将高度较小的树合并到高度较大的树上。这里我们使用“秩”(rank)代替高度，秩表示高度的上界，通常情况我们令只有一个节点的树的秩为0，严格来说，rank + 1才是高度的上界；两棵秩分别为r1、r2的树合并，如果秩不相等，我们将秩小的树合并到秩大的树上，这样就能保证新树秩不大于原来的任意一棵树。如果r1与r2相等，两棵树任意合并，并令新树的秩为r1 + 1。

   #include 
   class DisjSet {
     private:
       std::vector<int> parent;
       std::vector<int> rank; // 秩
     public:
       DisjSet(int max_size) : parent(std::vector<int>(max_size)),
                               rank(std::vector<int>(max_size, 0)) {
           for (int i = 0; i < max_size; ++i)
               parent[i] = i;
       }
       int find(int x) {
           return x == parent[x] ? x : (parent[x] = find(parent[x]));
       }
       void to_union(int x1, int x2) {
           int f1 = find(x1);
           int f2 = find(x2);
           if (rank[f1] > rank[f2])
               parent[f2] = f1;
           else {
               parent[f1] = f2;
               if (rank[f1] == rank[f2])
                   ++rank[f2];
           }
       }
       bool is_same(int e1, int e2) {
           return find(e1) == find(e2);
       }
   };
   

5. 并查集示例
   • 题目
     • 如果两个user，a字段一样，或者b字段一样、或者c字段一样，就认为是同一个人
     • 请合并user，并返回合并后的人数

struct User {
	string a;
	string b;
	string c;
	User(string a1, string b1, string c1) : a(a1), b(b1), c(c1){} 
};

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参考博客

1. 知乎并查集
2. 待定引用
3. 待定引用
4. 待定引用