自控原理学习笔记-系统稳定性分析（1）-BIBO稳定及Routh判据

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1.输入输出稳定-对于CLTIS

1.1两种稳定状态

1.1.1 BIBO稳定

1. 定义：如果一个系统在一个有界输入或扰动作用下其响应是有限的。

2. 充要条件：
   $$y(t)={\int }_0^{t}g(\tau )u(t-\tau )d\tau \Rightarrow |y(t)|\le {\int }_0^t|g(\tau )|\cdot |u(t-\tau )|d\tau \le M{\int }_0^t|g(\tau )|d\tau$$
   若要使y（t）有界，则充要条件为$|g(\tau )|$绝对可积

   不可积例子：$g(t)=\frac{1}{t-1}$

3. 对于CLTIS，满足BIBO则只有左半平面极点：

   假设传递函数是冲激响应的Laplace变换，于是：
   $$\begin{gathered} G(s)={\int }_0^{\infty }g(t)e^{-st}dt\Rightarrow |G(s)|\le {\int }_0^{\infty }|g(t)|\cdot |e^{-st}|dt={\int }_0^{\infty }|g(t)|\cdot |e^{-\sigma t}|dt \\ ⟹if\sigma \ge 0,|G(s)|{|}_{s=\sigma +iw}\to \infty \le {\int }_0^{\infty }|g(t)|\cdot |e^{-\sigma t}|dt\le {\int }_0^{\infty }|g(t)|dt \end{gathered}$$

​ $|g(t)|$无界，与BIBO稳定矛盾，所有只有当$\sigma <0$，满足条件。

1.1.2 零输入稳定（渐近稳定）

1. 定义：当t趋近于无穷，由初始条件产生的响应趋于0。
2. 稳定充分必要条件：
   • 对于$\forall s_i,Re(s_i)<0时，CLTIS渐近稳定$
   • $Re(s_i)>0||\text{有重虚根}，CLTIS不稳定$
   • 仅存在单重虚根，其他$Re(s_j)<0$,LTIS临界定界。
3. 相关例子：

1.1.3 稳定性相关说明

• 对于LTIS，BIBO、零输入稳定都要求特征值均位于复平面左边
• 对于LTIS，稳定性只取决于系统固有性质（特征值），与外界条件无关。
• 稳定性具有一个局部特性（多个稳定点），但只在时变系统和非线性系统体现，时不变系统是全局的。

2. Routh-Hurwitz判据

2.1 CLTIS稳定的必要条件

系统特征方程所有系数大于0

2.2 Routh判据

1. 列些Routh表

   $s^n{a}_n{a}_{n-2}{a}_{n-4}\dots$

   $s^{n-1}{a}_{n-1}{a}_{n-3}{a}_{n-5}\dots$

   $s^{n-2}{b}_1{b}_2{b}_3\dots$

   $s^{n-3}{c}_1{c}_2\dots$

   …………

   $s^0{h}_1$

2. 常规计算
   $$\begin{gathered} b_1=-\frac{\left[\begin{array}{cc}{a}_n& a_{n-2}\\ a_{n-1}& a_{n-3}\end{array}\right]}{a_{n-1}}{b}_2=-\frac{\left[\begin{array}{cc}{a}_n& a_{n-4}\\ a_{n-1}& a_{n-5}\end{array}\right]}{a_{n-1}} \\ {c}_1=-\frac{\left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-3}\\ b_1& b_2\end{array}\right]}{b_1}{c}_2=-\frac{\left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-5}\\ b_1& b_3\end{array}\right]}{b_1} \end{gathered}$$

3. 判断稳定方法：

   第一列系数符号改变次数，就是特征根位于右半s平面的个数

   稳定充要条件：表中第一列系数全大于0

2.3 相关应用

（1）首列系数为0

• 利用小$ϵ$法代替零值项，按常规方法继续求解。

• 若第一列全为正数，系统也不是渐近稳定，而是存在纯虚根，临界稳定

（2）某行系数全为0

表明s平面有对称于原点的实根，或共轭虚根

• 取全为0的前一行，以其系数为辅助方程（只取偶次）
• 对辅助方程求导，系数代替全为0行
• 继续常规步骤
• 解辅助方程得到对称根

（3）相关稳定性问题

利用换元的思想。

如求实部均小于2，则设u=s+2代入方程，将u当作方程变量，进行求解。

2.4 Hurwitz判据

判据：各阶主子式大于0

=s+2代入方程，将u当作方程变量，进行求解。

2.4 Hurwitz判据

[外链图片转存中…(img-JIuo2Ql8-1648098107527)]

判据：各阶主子式大于0