自控原理学习笔记-系统稳定性分析(1)-BIBO稳定及Routh判据

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文章目录

  • 1.输入输出稳定-对于CLTIS
    • 1.1两种稳定状态
      • 1.1.1 BIBO稳定
      • 1.1.2 零输入稳定(渐近稳定)
      • 1.1.3 稳定性相关说明
  • 2. Routh-Hurwitz判据
    • 2.1 CLTIS稳定的必要条件
    • 2.2 Routh判据
    • 2.3 相关应用
      • (1)首列系数为0
      • (2)某行系数全为0
      • (3)相关稳定性问题
    • 2.4 Hurwitz判据
    • 2.4 Hurwitz判据


1.输入输出稳定-对于CLTIS

1.1两种稳定状态

1.1.1 BIBO稳定

  1. 定义:如果一个系统在一个有界输入或扰动作用下其响应是有限的。

  2. 充要条件:
    y ( t ) = ∫ 0 t g ( τ ) u ( t − τ ) d τ ⇒ ∣ y ( t ) ∣ ≤ ∫ 0 t ∣ g ( τ ) ∣ ⋅ ∣ u ( t − τ ) ∣ d τ ≤ M ∫ 0 t ∣ g ( τ ) ∣ d τ y(t)=\int_0^tg(\tau)u(t-\tau)d\tau\Rightarrow |y(t)|\le \int _0^t|g(\tau)|\cdot |u(t-\tau)|d\tau \le M\int_0^t|g(\tau)|d\tau y(t)=0tg(τ)u(tτ)dτy(t)0tg(τ)u(tτ)dτM0tg(τ)dτ
    若要使y(t)有界,则充要条件为 ∣ g ( τ ) ∣ |g(\tau)| g(τ)绝对可积

    不可积例子: g ( t ) = 1 t − 1 g(t)=\frac{1}{t-1} g(t)=t11

  3. 对于CLTIS,满足BIBO则只有左半平面极点:

    假设传递函数是冲激响应的Laplace变换,于是:
    G ( s ) = ∫ 0 ∞ g ( t ) e − s t d t ⇒ ∣ G ( s ) ∣ ≤ ∫ 0 ∞ ∣ g ( t ) ∣ ⋅ ∣ e − s t ∣ d t = ∫ 0 ∞ ∣ g ( t ) ∣ ⋅ ∣ e − σ t ∣ d t ⟹ i f σ ≥ 0 , ∣ G ( s ) ∣ ∣ s = σ + i w → ∞ ≤ ∫ 0 ∞ ∣ g ( t ) ∣ ⋅ ∣ e − σ t ∣ d t ≤ ∫ 0 ∞ ∣ g ( t ) ∣ d t G(s)=\int_0^\infty g(t)e^{-st}dt\Rightarrow|G(s)|\le\int_0^\infty |g(t)|\cdot|e^{-st}|dt=\int_0^\infty|g(t)|\cdot|e^{-\sigma t}|dt\\ \Longrightarrow if \quad\sigma \ge 0,\quad |G(s)||_{s=\sigma+iw}\rightarrow\infty\le\int^\infty_0|g(t)|\cdot|e^{-\sigma t}|dt\le\int_0^\infty|g(t)|dt G(s)=0g(t)estdtG(s)0g(t)estdt=0g(t)eσtdtifσ0,G(s)s=σ+iw0g(t)eσtdt0g(t)dt

∣ g ( t ) ∣ |g(t)| g(t)无界,与BIBO稳定矛盾,所有只有当 σ < 0 \sigma<0 σ<0,满足条件。

1.1.2 零输入稳定(渐近稳定)

  1. 定义:当t趋近于无穷,由初始条件产生的响应趋于0。
  2. 稳定充分必要条件:
    • 对于 ∀ s i , R e ( s i ) < 0 时 , C L T I S 渐 近 稳 定 \forall s_i,Re(s_i)<0时,CLTIS渐近稳定 si,Re(si)<0CLTIS
    • R e ( s i ) > 0 ∣ ∣ 有重虚根 , C L T I S 不 稳 定 Re(s_i)>0||\text{有重虚根},CLTIS不稳定 Re(si)>0有重虚根CLTIS
    • 仅存在单重虚根,其他 R e ( s j ) < 0 Re(s_j)<0 Re(sj)<0,LTIS临界定界。
  3. 相关例子:

1.1.3 稳定性相关说明

  • 对于LTIS,BIBO、零输入稳定都要求特征值均位于复平面左边
  • 对于LTIS,稳定性只取决于系统固有性质(特征值),与外界条件无关。
  • 稳定性具有一个局部特性(多个稳定点),但只在时变系统和非线性系统体现,时不变系统是全局的。

2. Routh-Hurwitz判据

2.1 CLTIS稳定的必要条件

系统特征方程所有系数大于0

2.2 Routh判据

  1. 列些Routh表

    s n a n a n − 2 a n − 4 … s^n\quad a_n \quad a_{n-2}\quad a_{n-4} \quad \dots snanan2an4

    s n − 1 a n − 1 a n − 3 a n − 5 … s^{n-1}\quad a_{n-1} \quad a_{n-3}\quad a_{n-5} \quad \dots sn1an1an3an5

    s n − 2 b 1 b 2 b 3 … s^{n-2}\quad b_1 \quad b_2\quad b_3 \dots sn2b1b2b3

    s n − 3 c 1 c 2 … s^{n-3}\quad c_1 \quad c_2\quad \dots sn3c1c2

    …………

    s 0 h 1 s^0 \quad h_1 s0h1

  2. 常规计算
    b 1 = − [ a n a n − 2 a n − 1 a n − 3 ] a n − 1 b 2 = − [ a n a n − 4 a n − 1 a n − 5 ] a n − 1 c 1 = − [ a n − 1 a n − 3 b 1 b 2 ] b 1 c 2 = − [ a n − 1 a n − 5 b 1 b 3 ] b 1 b_1=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n}& a_{n-2} \\ a_{n-1}& a_{n-3} \end{bmatrix} } {a_{n-1}} \quad b_2=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n}& a_{n-4} \\ a_{n-1}& a_{n-5} \end{bmatrix} } {a_{n-1}}\\ c_1=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n-1}& a_{n-3} \\ b_1&b_2 \end{bmatrix} } {b_1} \quad c_2=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n-1}& a_{n-5} \\ b_1&b_3 \end{bmatrix} } {b_1} b1=an1[anan1an2an3]b2=an1[anan1an4an5]c1=b1[an1b1an3b2]c2=b1[an1b1an5b3]

  3. 判断稳定方法:

    第一列系数符号改变次数,就是特征根位于右半s平面的个数

    稳定充要条件:表中第一列系数全大于0

2.3 相关应用

(1)首列系数为0

  • 利用小 ϵ \epsilon ϵ法代替零值项,按常规方法继续求解。

  • 若第一列全为正数,系统也不是渐近稳定,而是存在纯虚根,临界稳定

(2)某行系数全为0

表明s平面有对称于原点的实根,或共轭虚根

  • 取全为0的前一行,以其系数为辅助方程(只取偶次)
  • 对辅助方程求导,系数代替全为0行
  • 继续常规步骤
  • 解辅助方程得到对称根

(3)相关稳定性问题

利用换元的思想。

如求实部均小于2,则设u=s+2代入方程,将u当作方程变量,进行求解。

2.4 Hurwitz判据

自控原理学习笔记-系统稳定性分析(1)-BIBO稳定及Routh判据_第1张图片

判据:各阶主子式大于0

=s+2代入方程,将u当作方程变量,进行求解。

2.4 Hurwitz判据

[外链图片转存中…(img-JIuo2Ql8-1648098107527)]

判据:各阶主子式大于0

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