二元函数的泰勒展开

泰勒展开是大杀器，但是似乎只能运用于一元函数中，二元函数的泰勒展开，如同高级武功秘籍，只在偏僻无人处，静静等待有缘人：）。

同济版《高等数学》下册，二元函数的泰勒（Taylor）展开证明：

将二元函数f(x,y)中的x、y转换为一元变量t的参数方程$x=x_0+ht,y=y_0+kt,f(x,y)=\varphi (x_0+ht,y_0+kt)$，这样二元函数就转化为一元函数，二元函数的任意值就可以用$x=x_0,y=y_0$处的值，按泰勒展开式展开。

废话不多少，定理如下：

证明如下：

掌握此知识点的关键，在于找到二元方程转化为一元方程的方法。

将二元函数f(x,y)转化为关于t的一元函数$\varphi (x_0+ht,y_0+kt)$，将$\varphi (1)=\varphi (x_0+h,y_0+k)$处的值，用$\varphi (0)=\varphi (x_0,y_0)$处的值和函数的各阶导数，按照一元函数的泰勒式展开。虽然二元函数中x, y并不一定符合假设的线性关系，但是，这种假设是完全成立的，并且在这种假设下，我们完全可以根据一元函数，而将二元函数表示为泰勒展开的形式。

中国历史上的数学家，暂且不论牛顿、欧拉、高斯、黎曼等这些王者大能，不知道有没有一个能跟英国Taylor一样的一流大师。现在没有，以后不知道多少年后才会出现一个。

该定理的证明非常巧妙，毋需自由发挥，只需严格按照公式带入求解就可以了。

下面是一个例题：