一道简单的无穷级数题目

1. 求级数$$\sum _{n=1}^{+\infty }n{x}^n$$

解析：

设
$$s=\sum _{n=1}^{+\infty }n{x}^n$$

$$s_1=\sum _{n=1}^{+\infty }n{x}^{n-1}$$

则$s=s_{1}x$

$$\int s_{1}dx=\sum _{n=1}^{n=\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}$$

且x的收敛域为(0,1)

$$s_1=(\frac{x}{1-x}{)}^{\prime }=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

$$s=s_{1}x=\frac{x}{(1-x{)}^2}x\in (0,1)$$

解出上题中需要知道的一个重要的知识点是$\frac{1}{1-x}$的泰勒展开式：

$$\begin{gathered} \frac{1}{1-x}=1+\frac{1}{1!}(\frac{1}{(1-x{)}^2}{|}_{x=0})x+\frac{1}{2!}(\frac{2}{(1-x{)}^3}{|}_{x=0})x^2+ \\ +\frac{1}{3!}(\frac{3!}{(1-x{)}^4}{|}_{x=0})x^3+\frac{1}{4!}(\frac{4!}{(1-x{)}^5}{|}_{x=0})x^4+\frac{1}{5!}(\frac{5!}{(1-x{)}^6}{|}_{x=0})x^5+... \\ +\frac{1}{(n-1)!}(\frac{(n-1)!}{(1-x{)}^n}{|}_{x=0})x^{n-1}+\frac{1}{n!}(\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}{|}_{x=0})x^n= \\ 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^{n-1}+x^n=\sum _{n=0}^{+\infty }{x}^n \end{gathered}$$

上述式子是等比数列，根据等比数列的性质，公比x要小于1才收敛。当然根绝达朗贝尔判别法，也可以得出收敛半径是(0,1)

2. 求极限$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\sin x)-x}{x^3}$$

解：

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\sin x)-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{6}-x}{x^3}= \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^3}{6}-x}{x^3}=-1/3 \end{gathered}$$

注意：在计算$\frac{{\sin }^{3}x}{6}$的泰勒展开时要小心，不要丢项。