C++刷题 -- 二分查找

C++刷题 – 二分查找

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一、原理

条件：数组为有序数组，数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的；

• 第一种写法：
  
  

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

• 第二种写法：
  
  

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

二、例题

1.二分查找

https://leetcode.cn/problems/binary-search/description/

2.使用二分查找确定target左右边界

https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/

• 该题目的要点在于非递减数组（升序，但是有可能有重复数字）中寻找target的左右边界，target可能有多个重复值的情况；
• 时间复杂度需要是O(log N)，表明需要使用二分查找确定左右边界，不能采用遍历方法确定边界；
• 先确定情况：
  • target不再nums区间内；
  • target在nums区间内，但是nums中没有target；
  • nums中有target；

使用二分查找确定边界的原理：
二分查找在没有查找到target的时候，target是在最终的(left, right)这个区间之内的，可以使用这个原理来分别找出左右边界；

• 确定右边界
  
  当nums[mid]的值小于等于target的时候，选择更新right_border，right_border需要跟着left更新，因为无论是否找到target，最终left一定会指向nums中大于target的数中最小的那个数，就是target的有边界（开区间）；
• 左边界同理；

特殊情况：

• nums为{2, 2}，target为3，最终左右边界输出值为(-2, 2)，之间的差值大于1，应该输出左右边界，但是target却不在nums中；
  解决方案：直接在最外面加一个判断target是否属于nums区间的条件；

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> res;
        
        int tar_l = leftBorder(nums, target);
        int tar_r = rightBorder(nums, target);
        cout << tar_l << "   " << tar_r << endl;

        if(nums.empty() || (target < nums[0] || target > nums[nums.size() - 1]))
        {
            //target不在nums范围
            res.push_back(-1);
            res.push_back(-1);
        }
        else if(tar_r - tar_l > 1)
        {
            //target存在于nums中
            res.push_back(tar_l + 1);
            res.push_back(tar_r - 1);
        }
        else
        {
            //target不存在于nums中
            res.push_back(-1);
            res.push_back(-1);
        }

        return res;
    }

    //寻找右边界 -- target右边的一个位置
    int rightBorder(vector<int>& nums, int target)
    {
        int right_border = -2;
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        //进行二分查找
        while(left <= right)
        {
            int mid = left + ((right - left) / 2);
            if(nums[mid] > target)//不断缩小右边界
            {
                right = mid - 1;
            }
            else
            {
                //缩小左边界
                //且当找到target时，left继续向右，目的是找到最右边target的位置
                left = mid + 1;
                right_border = left;
                //left最终指向的会是nums中大于target的最小数
            }
        } 
        return right_border;
    }
    
    //寻找左边界
    int leftBorder(vector<int>& nums, int target)
    {
        int left_border = -2;
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        //进行二分查找
        while(left <= right)
        {
            int mid = left + ((right - left) / 2);
            if(nums[mid] < target)//不断缩小左边界
            {
                left = mid + 1;
            }
            else
            {
                //缩小右边界
                //且当找到target时，right继续向右，目的是找到最左边target的位置
                right = mid - 1;
                left_border = right;
                //right最终指向的会是nums中小于target的最大数
            }
        } 
        return left_border;
    }

};

3.x的平方根

https://leetcode.cn/problems/sqrtx/submissions/483798269/

从题目的要求和示例我们可以看出，这其实是一个查找整数的问题，并且这个整数是有范围的。

• 如果这个整数的平方 恰好等于 输入整数，那么我们就找到了这个整数；
• 如果这个整数的平方 严格大于 输入整数，那么这个整数肯定不是我们要找的那个数；
• 如果这个整数的平方 严格小于 输入整数，那么这个整数 可能 是我们要找的那个数（重点理解这句话）。

因此我们可以使用「二分查找」来查找这个整数，不断缩小范围去猜。
方法一：

• 猜的数平方以后大了就往小了猜；
• 猜的数平方以后恰恰好等于输入的数就找到了；
• 猜的数平方以后小了，可能猜的数就是，也可能不是。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int min = 0, max = x;
        int res = 0;
        
        while(min <= max)
        {
            int mid = min + (max - min) / 2;
            if((long long)mid * mid <= x)  // 防止乘法溢出
            {
            	// 目标结果的平方小于等于x，寻找出的就是范围内最大的满足平方<=x的数
                min = mid + 1;
                res = mid;
            }
            else
            {
                max = mid - 1;
            }
        }
        return res;
    }
};

方法二：

• 使用二分查找寻找边界，目标数其实就是左边界；

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int min = 0, max = x;
        int res = 0;
        //寻找左边界
        while(min <= max)
        {
            int mid = min + ((max - min) / 2);
            if((long long)mid * mid < x)
            {
                min = mid + 1;
            }
            else if((long long)mid * mid > x)
            {
                max = mid - 1;
                res = max;
            }
            else
            {
                return mid;
            }
        }
        return res;
    }
};