如何证明特征值的几何重数不超过代数重数

设 ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值，则 ${\lambda }_0$ 的代数重数 $\ge$ 几何重数

证明

假设 $A$ 的特征值 ${\lambda }_0$ 对应的特征向量有 q 维，记为 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_q$，有
$$A{\alpha }_i={\lambda }_0{\alpha }_i,i=1,...,q$$
以它们作为 n 维向量空间的 $q$ 个基底向量，再扩充它们，将 n 维向量空间的整个基表示为 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_q,...,{\alpha }_n$.

记矩阵 $B=[{\alpha }_1,...,{\alpha }_q,...{\alpha }_n]$ ，有 $B$ 可逆。

A B = A [ α 1 , . . , α q , . . . , α n ] = [ λ 0 α 1 , . . . , λ 0 α q , . . . , A α n ] = [ α 1 , . . , α q , . . . , α n ] [ λ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ λ 0 ∗ ⋯ ∗ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ] A B = B [ λ 0 E A 12 O A 22 ] \begin{align*} AB &= A\begin{bmatrix} \alpha_1,..,\alpha_q,...,\alpha_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_0\alpha_1,...,\lambda_0\alpha_q,...,A\alpha_n \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \alpha_1,..,\alpha_q,...,\alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_0 & \cdots & 0 & * & \cdots & *\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_0 & * & \cdots & *\\ 0 & \cdots & 0 & * & \cdots & *\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots &0 & * & \cdots & *\\ \end{bmatrix}\\ AB&= B \begin{bmatrix} \lambda_0E & A_{12} \\ \mathcal{O} & A_{22} \end{bmatrix} \end{align*} ABAB​=A[α1​,..,αq​,...,αn​​]=[λ0​α1​,...,λ0​αq​,...,Aαn​​]=[α1​,..,αq​,...,αn​​] ​λ0​⋮00⋮0​⋯⋱⋯⋯⋯​0⋮λ0​0⋮0​∗⋮∗∗⋮∗​⋯⋯⋯⋯​∗⋮∗∗⋮∗​ ​=B[λ0​EO​A12​A22​​]​
又B可逆，则
$$B^{-1}AB=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}E& A_{12}\\ \mathcal{O}& A_{22}\end{array}\right]=C$$
即 $A$ 相似于 C

由此计算 $A$ 的特征多项式

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − C ∣ = ∣ ( λ − λ 0 ) E q − A 12 O λ E n − q − A 22 ∣ = ∣ ( λ − λ 0 ) q ∣ λ E n − q − A 22 ∣ |\lambda E-A| = |\lambda E - C| =\left | \begin{matrix} (\lambda - \lambda_0) E_q & - A_{12} \\ \mathcal{O} & \lambda E_{n-q} - A_{22} \\ \end{matrix} \right | =|(\lambda - \lambda_0)^q |\lambda E_{n-q} - A_{22}| ∣λE−A∣=∣λE−C∣= ​(λ−λ0​)Eq​O​−A12​λEn−q​−A22​​ ​=∣(λ−λ0​)q∣λEn−q​−A22​∣
由此可知该 $\lambda$ 的n次多项式方程至少有 q 个根为 ${\lambda }_0$，至于有没有更多的根为 ${\lambda }_0$，取决于后面的多项式 $|\lambda E_{n-q}-A_{22}|$ 是否出现 $(\lambda -{\lambda }_0)$。