【限时免费】20天拿下华为OD笔试之【DP】2023Q2-超级玛丽过吊桥-200分【欧弟算法】全网注释最详细分类最全的华为OD真题题解

【DP】2023Q2-超级玛丽过吊桥

题目描述与示例

题目描述

超级玛丽好不容易来到新的一关。有一个长长的吊桥共有 N 个木板，从吊桥一段的外侧开始跳（第 0 块），每一次可跳 1、2、3 步，其中有一些木板是陷阱，踩到即消耗一点生命值并在陷阱原地复活，刚好跳到吊桥的另一侧（第 N+1 块）则通关。 给定起始生命数量 M ，吊桥长度 N，陷阱木板数量 K 及 K 个陷阱木板的编号，求保证生命值大于 0 条件下所有可能的通关路线数量。

输入描述

超级玛丽当前生命数：1 <= M <= 5 吊桥的长度：1 <= N <= 32 陷阱木板数：1 <= K <= 32 陷阱木板编号数组： L 是长度及元素不大于 N 的编号数组

输入结构

M N K` `L

提示

1. 输入总是合法，忽略参数校验。
2. 必须从起点开始走。
3. 必须离开吊桥走到终点。

输出描述

输出通过此关的吊桥走法个数，如果不能通过此关，请输出 0

示例一

输入

2 2 1
2

输出

4

说明

2 个生命，2 个木板，缺失 1 个木板，第 2 个木板有缺失，一共有 4 种走法：

1. 3
2. 1 2
3. 2 1
4. 1 1(复活) 1

示例二

输入

1 3 2
1 3

输出

1

说明

1 个生命，3 个木板，缺失 2 个木板，第 1、3 个木板有缺失，只有 1 种走法，其他走法都不能通关。

1. 先走一步，死亡；
2. 先走三步，死亡。

示例三

输入

3 10 24
4 7

输出

504

解题思路

如果本题没有剩余生命值和陷阱木板的限制，那么这题会是一道非常简单的题目，可以看作是泰波那契版本的LC70. 爬楼梯。但加上限制之后，题目变得复杂了很多。

这是一个典型的序列dp问题。我们考虑动态规划三部曲：

1. dp数组的含义是什么？

对于dp[i]，不仅要记录到达第i块木板能够到达的方法数，还要记录到达该块木板时的剩余生命值。因此dp[i]可以存入一个哈希表，其中key为剩余生命值rest_life，value为以rset_life到达位置i的方法数。

2. 动态转移方程是什么？

跳跃到第i块木板的方法数，为跳到第i-1、i-2、i-3块木板的方法数的总和。另外，还需要考虑第i块木板是否是陷阱木板。若

• 第i块木板不是陷阱木板，那么不会损失生命，故存在dp[i][rest_life] += dp[j][rest_life]
• 第i块木板是陷阱木板，那么会损失生命。故存在dp[i][rest_life-1] += dp[j][rest_life]。注意必须满足rest_life-1 > 0，这是因为如果跳跃到该陷阱木板后，剩余生命值降为0，那么不能考虑该跳跃。

for i in range(1, N+2):
    for j in range(max(0, i-3), i):
        for rest_life in dp[j]:
            if i not in L:
                dp[i][rest_life] += dp[j][rest_life]
            else:
                if rest_life-1 > 0:
                    dp[i][rest_life-1] += dp[j][rest_life]

3. dp数组如何初始化？

起点只有一种情况，即以初始生命值M出现在起点。故以如下方式进行初始化

dp = [defaultdict(int) for _ in range(N+2)]
dp[0] = {M: 1}

代码

from collections import defaultdict

# 初始生命值M，吊桥长度N，陷阱木板的个数K
M, N, K = map(int, input().split())
# 陷阱木板的编号集合
L = set(map(int, input().split()))

# 初始化dp数组，dp[i]是一个哈希表，其中的
# key为剩余生命值rest_life，
# value为以rest_life到达吊桥位置i的方式数
dp = [defaultdict(int) for _ in range(N+2)]
# 初始化起点，只有一种情况
# 即以初始生命值M出现在起点
dp[0] = {M: 1}

# 从1开始，遍历包括终点N+1在内的所有位置
for i in range(1, N+2):
    # 考虑i的前三个位置，即i-1，i-2和i-3
    for j in range(max(0, i-3), i):
        # 遍历dp[j]哈希表中的所有剩余生命值rest_life
        for rest_life in dp[j]:
            # 第i块木板不是陷阱木板，走到i仍剩余生命值是rest_life
            if i not in L:
                # 更新dp[i][rest_life]
                dp[i][rest_life] += dp[j][rest_life]
            # 第i块木板是陷阱木板，走到i是剩余生命值是rest_life-1
            else:
                # 如果剩余生命值仍然大于0
                if rest_life-1 > 0:
                    # 更新dp[i][rest_life-1]
                    dp[i][rest_life-1] += dp[j][rest_life]

# dp结束后，dp[N+1]哈希表中的所有value求和，即为到达终点的方式数
print(sum(dp[-1].values()))

时空复杂度

时间复杂度：O(NM)。对整个吊桥仅需做一次遍历，但每一个位置i的动态转移过程都要遍历之前三个位置的哈希表，哈希表最大长度为初始生命值M，即储存了剩余生命值为1至M的方法数目。

空间复杂度：O(NM)。dp数组所占据的空间。

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