2020春 算法设计与分析 复习（1）

算法·Algorithm

• 算法定义
  有穷性/终止性、确定性、可行性、输入、输出
• 问题定义
  输入和输出的关系
• 计算复杂性理论
  固有复杂性，上界复杂性，下界复杂性，平均复杂性，复杂性问题分类：P=NP？，抽象复杂性研究
• 算法正确性分析
  对于每一个输入是否都最终停止？且是否产生正确的输出？
  不停止或产生不正确结果，都是不正确算法
  注：近似算法对所有输入都停止，但产生近似正确的解或产生不多的不正确解
• 算法复杂性分析
  目的：预测算法对不同输入所需资源量
  复杂性测度：时间、空间、I/O，是输入大小的函数
  用途：为一个求解问题 选择最佳算法和最佳设备
  数学基础：离散数学、组合数学、概率论、代数
  复杂性分析的度量：输入大小、时间复杂性（是输入大小的函数）、空间复杂性、最坏复杂性（max）、最小复杂性（min）、平均复杂性（y∈Input，y作为算法A的输入出现的概率是Py，A的平均复杂性是$$\Gamma (z)=\Sigma Py\ast complexity(size(y))$$）
• 算法设计模式
  暴力搜索，分治法，图搜索与枚举（分支界限、回溯），随机化方法
• 算法实现方法
  递归与迭代，顺序、并行与分布式，确定性与非确定性，近似求解与精确求解，量子算法
• 最优化算法设计方法
  线性规划，动态规划，贪心法，启发式方法

练习题

(1). 用伪代码写出求整数最大公因子的欧几里得算法。

1.输入两个数m,n
2.if(m>n)，求余数m%n
3.若余数不为0，用n替代m，用余数替代n => 重复2
4.若余数为0，则n就是最大公约数

例如，求81和21的最大公约数：
81/21=3…18
21/18=1…3
18/3=6…0
∴最大公约数为3

(2). 考虑如下伪代码
F(n)
1 if n=1
2 then return 1
3 else return n*F(n-1)
请说明F(n)的功能

斐波那契数列计算乘积
例如，n=5时：
return 5xF(4)=5x4xF(3)=…=5x4x3x2x1=120

(3). 时间复杂度是否是衡量一个算法性能的主要标准，为什么？

衡量一个算法性能原则上无标准。【时间、空间、IO、并行性】复杂度；内存算法中【时间、空间】占主导

(4). 包含死循环的程序是不是算法，为什么？

不是。有穷性？

(5). 是否可以通过提高算法的时间复杂性来降低其空间复杂性？

时空互换：时间复杂度<->空间复杂度
动态规划：空间换时间【台阶问题的动态规划】

思考题

(1).在信息产业中算法扮演什么角色？

算法是计算机科学基础的重要主题（啥玩意儿…）