算法复习 - 分支限界法

1. 什么是分支界限法：
   所谓分支就是采用广度优先的策略，一次搜索活结点的所有分支。为了有效的选择下一扩展节点，以加速搜索的进程
   在每一处活节点处，计算一个函数值（限界函数），在当前的活结点中选择一个可行最优解作为下一拓展节点。
   

2. 基本思想：
   分支界限常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。

在一个活结点生成所有孩子节点中，不满足界限函数的孩子将被舍弃，满足的孩子将加入到活结点表中。

以后，从活结点表中取出下一节点当成扩展节点，不停地重复上述步骤，直到找到最优解或者活结点表为空为止。

3. 回溯法vs分支限界法：
   
4. 设计思想：
   一：设计合适的限界函数
   在节点搜索过程中，每一个或活结点会产生很多孩子节点，设计合理的限界函数，删除不满足可行解或者限界的孩子节点，
   增加搜索效率

二：组织活动节点表
A． 从当前活动节点表出队，作为当前活扩展节点，一次生成所有孩子节点。
B． 根据限界条件删除不满足的孩子节点
C． 将满足条件的孩子节点入队，同时从当前对头取出下一扩展节点
不断重复上述三步，直到队列为空或者找到最优可行解。

      例如：队列式分支限界法
            队列式将活动节点表组成一个队列，按照先进先出的原则选取下一节点作为  扩展节点
        A．	选取根节点入队
        B．	取出对头节点作为扩展节点
        C．	将满足限界条件的孩子节点入队
        D．	不断重复B，C步骤。

5. 提高分支限界法效率
   实现算法时，首先确定目标值的上下界，一边搜索一边减掉树的分支，提高搜索的效率
   就像是剪掉树的枝枝叶叶一样剪掉当前树的死节点，以减少搜索的时间。

    在实现算法时还需要考虑很多问题：
   1.	如何设置当前上下界，节点的限制函数又该如何设定。
   2.	怎么选择当前活动表节点作为下一扩展节点。
   3.	怎么展开当前的搜索树，是bfs优先还是bfs和dfs混合搜索
   

6. 实例讲解：
   1.分配问题

在没有人员选取任务时，考虑最小下限，lb = 2 + 3 + 1 + 4 = 10，人员b和人员c不能同时选取任务三，所以说最小解是不存在的，只能最为边界，
进行条件判断，将当前根节点入队，取出当前队头元素生成所有孩子节点。那么且看第一层孩子的剪枝，当a拿1时，此时ib = 9 + 3 +1 + 4 = 17；
当a拿2时，ib = 2 + 3 + 1 + 4 = 10；当a拿3时，ib = 7 + 4 + 5 + 4 = 20；当a拿4时，ib = 8 + 3 + 1 +6 = 18；很明显选择拿2入队，其他全部舍弃。
后面的选择全部相似，不断的从队列中拿出对头的元素，当到第五层的时候或者队列的元素为空的时候，结束遍历，找到最优解。

2. 背包问题
   背包问题用分支限界法求解其实本质上和0/1背包一位数组倒序求解本质过程是一样的。这里仅仅记录下界是怎么求得，第一层ib = 10 * 10 = 100，
   第二层，第一个 ib = 40 + （10 – 4）* 6 = 76；第二个ib = 10 * 6 = 60；后面全都类似。